Rational Zahlen ℹ️ In Mathematik, Definition, Eigenschaften, Aktion, Beispiele, Beispiele, wie man beweist, wie die Zahl rational ist

Rationale Zahlen, was ist

Rationale Zahlen können in Unendlichkeit diskutiert werden, um neue Chips und tolerante Fehler beim Verständnis zu finden.

Um Probleme mit solchen Zahlen zu vermeiden, lohnt es sich, einige dieser Informationen darüber nachzudenken. Dies wird dazu beitragen, das Material zu assimilieren und das notwendige Wissen in der Mathematik bereitzustellen.

Was ist

Um damit zu beginnen, sollte verstanden werden, welche Zahlen rational genannt werden. Diese gelten als Fraktionen in Form eines Zählers und Nenner. Darüber hinaus sollte letzterer nicht Null sein, da die Abteilung an einer solchen Zahl als ungültig betrachtet wird.

Die Kategorien der Zahlen können von rational bezeichnet werden:

Welche Zahlen werden rational bezeichnet?
  1. Ganze Zahlen, ob positiv oder negativ.
  2. Mathematische fraktische Ausdrücke verschiedener Typen.
  3. Kombination von gewöhnlichen und fraktionierten.
  4. Dezimalfraktionen.
  5. Unendliche periodische Fraktionen.

Alle Gruppen angegebener Ausdrücke sind als A / B-Fraktion dargestellt. Beispielsweise kann die Zahl 2 in Form von Fraktionen 2/1 dargestellt werden, was es ermöglicht, es sowohl dem ganzen als auch auf rational zuzuordnen.

In ähnlicher Weise können in Form von Fraktionen gemischte und endlose periodische Fraktionen dargestellt werden. Daher ist die Bezeichnung für solche Ausdrücke rationale Zahlen.

Auf der Koordinaten direkt

Zuvor wurde beim Studium negativer Nummern in Schulstunden das Konzept der Koordinaten direkt eingeführt. Es gibt viele Punkte auf einer solchen Linie. Besonders schwierig, die Suche nach Fraktionen und gemischten Indikatoren zu lösen, wie sie Zwischen Ganzzahlen in unendlichen Mengen liegen:

Rational Zahl Beispiele
  • Zum Beispiel befindet sich der Fraktion 0,5 zwischen Null und Einheit. Wenn Sie das Intervall einer solchen geraden Linie erhöhen, ist es leicht, fraktioniert von 0,1 bis 0,9 zu sehen, er kostet ½ in der Mitte. In gleicher Weise können mathematische Fraktionen des Formulars 3/6, 4/8 und so weiter maskiert werden.
  • Wie bei der Fraktion 3/2 befindet sich es auf einer arithmetischen Linie zwischen der Einheit und einem Twos. Zwischen ihnen in großer Zahl gibt es Dezimalfraktionen, einschließlich der gewünschten. Eine Erhöhung bestimmter Segmente gibt eine Idee, dass es immer noch auf der Koordinate zwischen der Ganzzahl liegt. Infolgedessen erschienen Ausdrücke nach einem Semikolon ein Zeichen. Und solche Werte ein großartiger Set, einschließlich zwischen fraktionell.
  • Es ist jedoch möglich, den eigentlichen Platz der unendlichen periodischen Fraktion zu finden, nur weil es in die Unendlichkeit geht. Sie können viele Illustrationen davon finden, wie nahe der Fraktion in echten Bedingungen liegen können.

Wenn Sie in Betracht ziehen, worauf eine rationelle Zahl zur Koordinate direkt ist, ist es wichtig, sein Erscheinungsbild zu kennen, und ist es möglich, in einen anderen umzuwandeln. Es ist oft erforderlich, ein separates Eigentum zu finden oder die Aufgabe mit bestimmten Segmenten zu veranschaulichen.

Wenn es minus wert ist

Als Schulkinder das Thema Multiplikation und Divisionen bestanden, wurden sie bekannt: In der Rolle von Trennwänden und Divisiblen können als negative und positive Ausdrücke fungieren.

Was ist rationale Zahlen in der Mathematik?

Variationen 6: -2 = -3 und -6: 2 = -3 haben das gleiche Ergebnis, obwohl das Minuszeichen unterschiedliche Teile hat.

Als Jede Division kann als Fraktion dargestellt werden , Minus wird in einem Zähler oder in den Nenner eingestellt. Entweder machen es üblich.

Zwischen allen drei Variationen können Sie ein Zeichen der Gleichheit setzen, da ihr Ergebnis dieselbe Anzahl ist.

Jede der rationalen Indikatoren hat das Gegenteil.

Zum Beispiel ist für den Fraktion ½ -1 und seine Variationen. Beide sind äquidistant bis zu Beginn der Koordinaten und befinden sich in der Mitte.

Übersetzung in Fraktionen

Die Übertragung eines gemischten Ausdrucks an die falsche Fraktion wird unter Verwendung der Multiplikation durch den Nenner, dem fraktionierten Teil und dem Hinzufügen des Zählers durchgeführt. Die resultierende neue Fraktion mit demselben Nenner.

Sie können den Algorithmus auf dem nächsten einfachen Beispiel in Betracht ziehen:

Viele rationale Nummern
  • Es gibt 2.5, was in den falschen Bruchteil übersetzt werden sollte.
  • Der gesamte Indikator muss mit dem Kanal des fraktionierten Teils multipliziert und den Zähler desselben Teils hinzufügen.
  • Der resultierende Wert kann als (2 * 2) + 1 = 4 + 1 = 5 abgezogen werden.
  • 5 wird ein Zähler sein, und der Nenner ist das Gleiche und wird 5/2 herausstellen.
  • Rückgabe Der anfängliche Mixel kann als ganzen Teil hervorgehoben werden.

Diese Methode ist jedoch nicht für einen negativen Wert geeignet. Wenn Sie die frühere Regel verwenden und das gesamte Teil zuordnen, können Sie einen Widerspruch des Formulars erhalten: (-2 * 2) + ½ = -3 / 2, obwohl es notwendig ist, -5/2 zu erhalten.

Daher sollten Sie eine andere Methode definieren. Das gesamte Teil wird mit dem Nenner des fraktionierten Teils multipliziert. . Aus dem resultierenden Wert wird der Zähler des fraktionierten Teils abgezogen. Und dann stellt sich die richtige Antwort heraus.

Dank der Koordinaten direkt kann es verstanden werden, warum sich MIXED -2,5 auf der linken Seite befindet. Minus zeigt eine Verschiebung nach links in der Anzahl der zwei Schritte an. Der HIT trat an Punkt -2 auf. Danach ist die Verschiebung noch einen halben Schritt und die Mitte zwischen -3 und -2.

Vergleich der Zahlen untereinander

Aus früheren Lektionen ist es leicht zu beweisen, dass das Recht auf der rechten Seite der Wert ist, desto mehr ist es. Und im Gegenteil, desto linker der Situation legt nahe, dass der betrachtete Wert weniger als ein anderer Indikator ist.

Der Wert, dessen Ausdruck eine rationale Zahl ist

Bei solchen Fällen, wenn der Vergleich der Zahlen einfach erreicht wird, gibt es eine solche Regel: aus zwei Zahlen mit positiven Anzeichen, die mehr Modul aufweist. Und für negativ ist es, dessen Modul weniger ist. Zum Beispiel gibt es Zahlen -4 und -2. Beim Vergleich von Modulen kann man das -4 weniger -2 sagen.

Gleichzeitig geben Newcomer oft den folgenden Fehler zu : verwirrt vom Modul und direkt die Nummer. Immerhin gibt das Modul -3 und das Modul -1 nicht an, dass -3 -3 -1 ist, aber im Gegenteil. Dies kann von der Koordinaten direkt verstanden werden, wobei der erste der ersten links von der zweiten links liegt. Wenn Sie die Werte vergleichen möchten, ist es wichtig, auf die Zeichen zu achten. Minus spricht von der Negativität des Ausdrucks und umgekehrt.

Einige Beispiele

Es ist etwas komplizierter, sich auf gemischte Zahlen, die Extraktion der Wurzel-, Bruchwerte zu beziehen. Es wird dauern, um die Regeln zu ändern, da es nicht immer möglich ist, sie auf der Koordinaten direkt darzustellen. In diesem Zusammenhang ist es erforderlich, sie auf andere Weise zu vergleichen als in der Schule:

Was bedeutet die rationale Zahl?
  1. Zum Beispiel gibt es zwei negative Werte, nämlich -3/5 und -7/3.
  2. Zuerst gibt es Module in Form von 3/5 und 7/3, die positiv sind.
  3. Dann wird jeder an einen gemeinsamen Nenner angetrieben, der 15 hervorsteht.
  4. Basierend auf der Regel für negative Werte, rational -3/5 More -7/3, da sein Modul weniger ist.

Es ist einfacher, Module von ganzzahligen Teilen zu vergleichen, da Sie die Frage schnell beantworten können. Es ist bekannt, dass ganze Teile im Vergleich zu den Fraktionen wichtiger sind. Wenn Sie die Zahlen 15.4 und 2.1212 beachten, ist der gesamte Teil der ersten Zahl mehr als der zweite und somit Fraktion.

Die Situation ist etwas komplizierter mit einem Beispiel, in dem es Werte von -3.4 und -3.7 gibt. Module von Integernummern sind gleich, daher müssen daher mit rationalen Werten verglichen werden. Dann stellt sich heraus, dass -3.4 mehr -3.7 ist, da sein Modul weniger ist.

Beim Vergleich der einfachen und periodischen Fraktion sollte letzterer in den Standard übersetzt werden. So wird 0, (3) 3/9. Vergleichen, übersetzen Sie die Fraktionen in den gesamten Nenner 0, (3) und 4/8, er stellt sich 24/72 und 36/72 aus. Natürlich 24/72 <36/72. Das heißt, ein Modul 4/8 größeres Modul 0, (3), bedeutet, dass es als groß angesehen wird.

Rational Zahlen sind ein umfangreiches Thema. Ihr Studium gilt als eher schwierig und fordert, viele Nuancen und Erklärungen der wichtigsten Punkte, Aktionen mit arithmetischen Zahlen und so weiter zu berücksichtigen. Trotz der scheinbaren Einfachheit werden das Programm zur Bestimmung, welche Zahlen rational sind und Vergleiche, unter Berücksichtigung der Anwesenheit von Fraktionsteilen, Anzeichen nach einem Komma und vor dem Ausdruck.

Es hängt von der Suche nach der richtigen Antwort und der Lösung der Gesamtaufgabe ab, einschließlich der Suche nach Zinsen und Volumina.

Rationale Indikatoren können sich auf Assistenten im Übergang zu komplexen Abschnitten in diesem Kurs der Mathematik beziehen und eine Vorstellung von natürlichen und dezimalen numerischen Ausdrücken im Allgemeinen und insbesondere auf ungewöhnliche Fälle.

Jeder hörte von rationalen Zahlen, aber nicht jeder versteht, dass sie repräsentieren. Tatsächlich ist alles einfach.

Quelle: Yandex.
Quelle: Yandex.

Rationale Zahl - Dies ist das Ergebnis der Unterteilung von zwei Ganzzahlen. Zum Beispiel ist die Nummer 2 das Ergebnis der Unterteilung von 4 und 2, und die Anzahl 0,2 ist 2 geteilt durch 10. Jede rationale Zahl, die wir für sich in Form einer Fraktion präsentieren können M / n. wo mist eine ganze Zahl. n- Natürliche Zahl.

Wie sehen rationale Zahlen aus? Es kann sein:

  • Fraktionen (1/2, 5/10)
  • Ganzzahlen (1, 2, 5)
  • Gemischte Nummern
  • Dezimalfraktionen (0,14, 4,1)
  • Endlose periodische Fraktionen (zum Beispiel, wenn wir 10 bis 3 teilen, erhalten wir 3.33333 ...)

Q - Bezeichnung eines Satzes rationaler Zahlen.

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Eigenschaften rationaler Zahlen

  • Jede natürliche Zahl ist rational.
  • Jede ganze Zahl ist rational.
  • Rationale Zahlen folgen der Regel Atemberaubend und bewegend Eigenschaften. Das heißt, von Änderungen an Orten der Bedingungen des Summenwerts, der nicht zu ändern ist.

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

A + 0 = A

A + (- a) = 0

Beispiele:

2 + 3 = 5 und 3 + 2 = 5 bedeutet 2 + 3 = 3 + 2.

14+ (1 + 4) = 19 und (14 + 1) + 4 = 19, was 14+ (1 + 4) = (14 + 1) +4 bedeutet

  • Auch diese Gesetze werden beim Multiplizieren gespeichert.

A × B = B × A

A × (B × c) = (A × B) × c

A × 1 = a

A × 1 / A = 1

A × 0 = 0

A × B = 0

Beispiele:

3x4 = 12 und 4x3 = 12 bedeutet 3x4 = 4x3

5x (2x3) = 30 und (5x2) x3 = 30, es bedeutet 5x (2x3) = (5x2) x3

  • Für rationale Zahlen wird das Verteilungsgesetz der Multiplikation gerechtfertigt sein.

(A + B) × C = AC + BC

(A - B) × C = AC - BC

Beispiele:

(4 + 7) x5 = 55 und 4x5 + 7x5 = 55, was bedeutet (4 + 7) x5 = 4x5 + 7x5

Irrationale Zahlen und Wurzeln

Um besser zu verstehen, welche Art von rationalen Zahlen sind, sollten Sie wissen, welche Zahlen nicht sind. Oder vielmehr, welche Zahlen werden irrational sein. Solche Zahlen können nicht in Form einer einfachen Fraktion geschrieben werden:

  • Die Anzahl der PI, das ungefähr 3,14 ist. Es kann als Fraktion dargestellt werden, aber dieser Wert wird nur annähernd sein.
  • Einige Wurzeln. Zum Beispiel kann der Wurzel von 2 oder von 99 nicht als Fraktion geschrieben werden
  • Goldener Abschnitt, der ungefähr gleich 1,61 ist. Hier ist die Situation derselbe wie mit der Anzahl der Pi.
  • Die Anzahl der Euler, die ungefähr 2.718 beträgt, ist ebenfalls nicht rational.
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Die meisten irrationalen Zahlen befinden sich unter den Wurzeln, aber nicht alle irrationalen Wurzeln. Beispielsweise ist die Wurzel der Nummer 4 die Zahl 2, und es kann als Fraktion dargestellt werden. Das heißt, die Wurzel zwischen 4 ist eine rationale Zahl.

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Was ist rationale Zahlen?

14. Januar 2021.

Hallo, liebe Blogleser ktonanovenkogo.ru. Heute werden wir über mathematische Begriffe sprechen.

Und diesmal erfahren wir alles über rationale Zahlen. Sie betreten notwendigerweise in das Schulprogramm, und Kinder beginnen in der Klasse 6 zu studieren.

Das Wort "rational" ist vielen bekannt. Und darunter impliziert etwas "logisches" und "richtig". In der Tat ist es.

Rational Zahlen sind ...

Der Begriff hat einen lateinischen Wurzeln und übersetzte "Ratio" bedeutet "Nummer", "Berechnung", "Grund", "Argumentation" und "Nummerierung". Es gibt jedoch andere Übersetzungen - "Fraktion" und "Division".

Rationale Zahl - eine beliebige Nummer, die angezeigt werden kann in Form von Fraktionen A / B . Hier ist A eine ganze Zahl, und B ist natürlich.

Es lohnt sich, daran erinnert zu werden:

  1. Ganze Zahlen - Dies sind alle möglichen Zahlen wie negativ und positiv. Und es wendet auch null an. Die Hauptbedingung - sie sollten nicht fraktioniert werden. Das heißt, -15, 0 und +256 kann als Ganzzahlen bezeichnet werden, und 2,5 oder -3.78 - Nein.
  2. Ganzzahl - Dies sind die Zahlen, die mit der Punktzahl verwendet werden, dh sie haben "natürliche Herkunft". Dies ist eine Serie von 1, 2, 3, 4, 5 und so weiter in unendlich. Aber null und negative Zahlen sowie fraktioniert - gehören nicht zu natürlich.

Und wenn Sie diese Definitionen anwenden, können wir das sagen:

Die rationale Zahl ist im Allgemeinen alle möglichen Zahlen außer unendlichter nicht periodischer Dezimalfraktionen. Unter ihnen sind natürliche und ganze Zahlen, gewöhnliche und endliche Dezimalfraktionen sowie endlose periodische Fraktionen.

Planen

Geschichte des Studiums der rationalen Zahlen

Es ist nicht bekannt, wenn die Menschen anfingen, die Fraktionen zu studieren. Es gibt eine Meinung, dass vor vielen tausend Jahren. Und alles begann mit einer banalen Division. Zum Beispiel musste jemand geteilt werden, aber es funktionierte nicht an gleichen Teilen. Aber es stellte sich außerdem aus und wie viel im Anhang.

Am wahrscheinlichsten wurde die Fraktion im alten Ägypten und im antiken Griechenland untersucht. Die damalige Mathematik wurde in der Wissenschaft weit fortgeschritten. Es ist schwierig, anzunehmen, dass dieses Thema nicht studierte. Unglücklicherweise wurde keine der Werke nicht spezifische Anweisungen für rationale Zahlen gefunden.

Mathematiker

Es wird jedoch offiziell angenommen, dass das Konzept der Dezimalfraktion 1585 in Europa erschien. Dieser mathematische Begriff in seinen Schriften, die von einem niederländischen Ingenieur und einem mathematischen Simon Stevin vererpft wurden.

Vor der Wissenschaft war er ein gewöhnlicher Händler. Und höchstwahrscheinlich befanden sich in Handelsfällen, die oft fraktionale Zahlen konfrontiert waren. Was dann in seinem Buch "Zehnter" beschrieben.

Darin erklärte Stevech nicht nur die Nützlichkeit der Dezimalfraktionen, sondern förderte auch in jeder Hinsicht ihre Verwendung. Beispielsweise, in einem System von Maßnahmen, um den Wert von etwas genau zu bestimmen.

Sorten rationaler Zahlen

Wir haben bereits geschrieben, dass die Konzepte rationaler Zahlen fast alle möglichen Optionen fallen. Betrachten Sie nun die vorhandenen Optionen detaillierter:

  1. Ganzzahl . Jede Zahl von 1 und der Unendlichkeit kann als Fraktion dargestellt werden. Es reicht aus, sich an die einfache mathematische Regel zu erinnern. Wenn Sie die Nummer pro Gerät teilen, ist dieselbe Anzahl. Zum Beispiel 5 = 5/1, 27 = 27/1, 136 = 136/1 und so weiter.
  2. Ganze Zahlen . Genau die gleiche Logik, wie bei natürlicher Zahlen, dient hier. Negative Zahlen können auch als Bruchteil mit Division pro Einheit dargestellt werden. Und es wird auch in Bezug auf Null sein. Zum Beispiel -356 = -356/1, -3 = -3/1, 0 = 0/1 und so weiter.
  3. Gewöhnliche Fraktionen . Dies bezieht sich direkt auf die Definition rationaler Zahlen. Zum Beispiel, 6/11, 2/5, -3/10 und so weiter.
  4. Unendliche periodische Fraktionen . Dies sind die Zahlen, die nach dem Komma die unendlich viele Anzeichen und ihre Sequenz wiederholt. Die einfachsten Beispiele 1/3, 5/6 und so weiter.
  5. Finite Dezimalfraktionen. . Dies sind die Zahlen, die in zwei verschiedenen Optionen aufgenommen werden können und in denen es eine sehr spezifische Anzahl von Semikolonen gibt. Das einfachste Beispiel ist die Hälfte. Es kann mit einem Schuss 0,5 oder Fraktion ½ bezeichnet werden.

Alle Zahlen, die in dem rationalen Konzept enthalten sind, werden als vielfältige rationale Zahlen bezeichnet. In der Mathematik wird es akzeptiert, lateinisch zu markieren Buchstabe F. .

Und grafisch kann es so dargestellt werden:

Zahlen

Eigenschaften rationaler Zahlen

Rational Zahlen gehorchen Alle Hauptgesetze der Mathematik :

  1. A + B = B + A
  2. A + (B + C) = (A + C) + mit
  3. A + 0 = A
  4. A + (-a) = 0
  5. A * b = v * a
  6. A * 1 = a
  7. A * 0 = 0
  8. (A + c) * c = a * c + v * c
  9. (A - C) * C = A * C - V * mit

In der Interesses willen können Sie versuchen, Nummern anstelle von Buchstaben zu ersetzen und sicherzustellen, dass diese Gesetze wahr sind.

Anstelle von Inhaftierung.

Sobald es rationale Zahlen in der Mathematik gibt, bedeutet dies, dass sie das entgegengesetzt sein sollten. Es gibt also - sie werden genannt irrational . Dies sind Zahlen, die nicht in Form von gewöhnlicher Fraktion geschrieben werden können.

Diese Zahlen gehören zur mathematischen Konstante "PI". Viele wissen, dass es gleich 3.14 und eine unendliche Anzahl von Dezimalzeichen ist, und ihre Reihenfolge wird niemals wiederholt.

Irrationale Zahlen

Die irrationalen Zahlen betrifft auch viele Wurzeln. Dies gilt für diejenigen, die keine Ganzzahl erhalten. Das einfachste Beispiel ist die Wurzel von 2. Dies ist jedoch das Thema für einen anderen Artikel.

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Die rationale Zahl ist eine Zahl, die als Fraktion dargestellt werden kann. Jene. Wenn die Nummer erhalten werden kann, indem Sie zwei Ganzzahlen teilen (Anzahl ohne fraktionierter Teil), ist dies rational.

Dies ist eine Zahl, die von einem gewöhnlichen Schuss eingereicht werden kann M / n., wobei der Zähler M eine ganze Zahl ist und der Nenner n eine natürliche Zahl ist.

Zum Beispiel:

  • 1,15 - eine rationale Anzahl von t. Es kann als 115/100 dargestellt werden;
  • 0,5 - eine rationale Zahl, weil es 1/2 ist;
  • 0 ist eine rationale Zahl, weil es 0/1 ist;
  • 3 - rationale Zahl, weil es 3/1 ist;
  • 1 - rationale Zahl, weil es 1/1 ist;
  • 0,33333 ... - rationale Zahl, weil es 1/3 ist;
  • -5.4 - Die rationale Zahl, weil es -54/10 = -27/5 ist.

Viele Rational Zahlen werden durch den Brief angezeigt "Q" .

Das Wort "Rational" stammt aus dem lateinischen "Ratio", das mehrere Werte hat - die Anzahl, die Berechnung, die Nummerierung, das Denken, den Geist usw.

Eigenschaften rationaler Zahlen

Angenommen, A, B und C - beliebige rationelle Zahlen.

Bewegungs- und Kombinationsgesetze

A + B = B + und zum Beispiel: 2 + 3 = 3 + 2;

A + (B + C) = (A + B) + C, beispielsweise: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4;

A + 0 = A, zum Beispiel: 2 + 0 = 2;

A + (- a) = 0, zum Beispiel: 2 + (- 2) = 0

Bewegung und Kombinationsgesetze beim Multiplizieren

A × B = B × A, zum Beispiel: 2 × 3 = 3 × 2

A × (B × c) = (A × B) × c, zum Beispiel: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4

A × 1 = A, zum Beispiel: 2 × 1 = 2

A × 1 / A = 1, falls ein ≠ 0; Zum Beispiel: 2 × 1/2 = 1

A × 0 = 0, zum Beispiel: 2 × 0 = 0

A × B = 0, es bedeutet: oder a = 0 oder B = 0 oder beide sind Null

Vertriebsgesetz Multiplikation.

Zur Ergänzung:

(und +b) × S = a с + bсBeispiel: (2 + 3) × 4 = 2 × 4 + 3 × 4

Zur Subtraktion:

(und b) ×. с = A. с bсZum Beispiel: (3 - 2) × 4 = 3 × 4 - 2 × 4

Irrationale Zahlen

Irrationale Zahlen - das Gegenteil von rationalen Zahlen, dies sind solche, die nicht als einfache Fraktion geschrieben werden können.

Zum Beispiel:

  • Die Zahl pi = 3,14159 ... es kann als 22/7 geschrieben werden, aber es wird nur sein Über и weit weg von sicher 22/7 = 3,142857 ..);
  • √2 und √99 - irrational, da sie unmöglich sind, einen Bruch aufzunehmen (die Wurzeln sind oft irrational, aber nicht immer);
  • E (Anzahl) = 2,72 - irrational, da es unmöglich ist, einen Bruch aufzunehmen;
  • Der Goldquerschnitt φ = 1.618 ... - irrational, da es unmöglich ist, einen Bruch aufzunehmen.

Viele Irrationszahlen werden durch den Brief angezeigt "ICH" .

Was ist der Unterschied zwischen Ganzzahl, natürlichen und rationalen Zahlen?

Die Ganzzahlen sind natürliche Zahlen gegenüber den Nummern (unter Null) und Null.

Zum Beispiel:

Alle ganze Zahlen sind rational Zahlen (natürlich einschließlich), da sie als gewöhnlicher Fraktion dargestellt werden können.

Viele Ganzzahlen in der Mathematik werden durch den Brief angezeigt Z.

Ganzzahl

Natürliche Zahlen sind nur ganze Zahlen ab 1.

Zum Beispiel:

Dieses Konto tauchte auf natürliche Weise auf, als die Menschen immer noch an den Fingern dachten und die Zahlen nicht kassierten ("Ich habe so viele Ziegen, wie viele Finger auf beiden Händen"), so dass Null nicht in natürlicher Nummern enthalten ist.

Viele Natürliche Zahlen in der Mathematik werden durch den Brief angezeigt N.

Alle Dezimalfraktionen sind rationale Zahlen?

Dezimalfraktionen sehen aus wie:

Dies sind die üblichen Fraktionen, die der Nenner von 10, 100, 1000 usw. entspricht. Unsere Beispiele, die wir in dieses Formular schreiben können:

3,4 =. 3,4.;

2,19 =. 2.19. ;

0.561 =. 0,561..

Das bedeutet, dass irgendwelche Endlich Die Dezimalfraktion ist eine rationale Zahl.

Jemand Periodische Fraktion. Sie können auch in Form einer gewöhnlichen Fraktion einreichen:

(3 wiederholt)
(3 wiederholt)

Folglich ist jede periodische Fraktion eine rationale Zahl.

Aber endlose und nicht periodische Dezimalfraktionen gelten nicht als rationale Zahlen, da sie nicht in Form einer gewöhnlichen Fraktion gezeigt werden können.

Kann sich daran erinnern, wie die Krippe das ist, dass die Zahl ist P. (3.14159 ...) irrational . Er hat viele Nicht-Raffinationsmarken nach dem Komma, und es ist nicht möglich, sich in Form einer gewöhnlichen Fraktion vorzustellen.

Wurzeln - rationale Zahlen oder irrational?

Der überwältigende Teil von quadratischen und kubischen Wurzeln ist irrationale Zahlen. Es gibt jedoch Ausnahmen: Wenn es als Fraktion dargestellt werden kann (per Definition einer rationalen Zahl). Zum Beispiel:

  • √2 = 1.414214 ... - Irrational;
  • √3 = 1.732050 ... - Irrational;
  • ∛7 = 1.912931 ... - irrational;
  • √4 = 2 - Rational (2 = 2/1);
  • √9 = 3 - Rational (3 = 3/1).

Die Geschichte der rationalen Zahlen und Fraktionen

Die früheste bekannte Erwähnung von irrationalen Zahlen lag zwischen 800 und 500 v. Chr. e. In der indischen Sulba Sutra.

Der erste Nachweis der Existenz von irrationalen Zahlen gehört dem antiken griechischen Philosoph Pythagorean Hippas vom Metapon. Er bewies (höchstwahrscheinlich geometrisch) die Irrationalität der Quadratwurzel von 2.

Die Legende gibt an, dass Hippas aus Metapont irrationale Zahlen eröffnete, als er versuchte, eine Quadratwurzel von 2 in Form eines Bruchteils zu präsentieren. Pythagoras glaubten jedoch an die absolute Zahl und konnten die Existenz von irrationalen Zahlen nicht akzeptieren.

Es wird angenommen, dass es aus diesem Grund einen Konflikt zwischen ihnen gab, der viele Legenden hervorbrachte. Viele sagen, dass diese Entdeckung von Hippas getötet wurde.

In den babylonischen Datensätzen in der Mathematik ist es oft möglich, ein sechsmonatiges Nummernsystem zu sehen, in dem die Fraktionen bereits verwendet wurden. Diese Aufzeichnungen wurden vor mehr als 4.000 Jahren gemacht, das System war ein bisschen anders, als wir, aber der Punkt ist gleich.

Ägypter, die in einem späteren Zeitraum lebten, hatten auch ihre eigene Art, Fraktionen zu schreiben, etwas Ähnliches mit: 3 & supmin; oder 5 & supmin; & supmin;

Erfahren Sie mehr über natürliche Zahlen, die Nummer PI, die Zahlen von Fibonacci und Aussteller.

Bestimmung der rationalen Zahlen

Rationale Zahl - Dies ist eine Zahl, die als positiver oder negativer gewöhnlicher Fraktion oder Anzahl von Null dargestellt werden kann. Wenn die Zahl durch Teilen von zwei Ganzzahlen erhalten werden kann, ist dies eine rationale Zahl.

Rationalzahlen sind solche, die als dargestellt werden können

Art der rationalen Zahlen

wo der Zähler M eine ganze Zahl ist und der Nenner n eine natürliche Zahl ist.

Rationale Zahlen - Dies sind alles natürliche, ganze Zahlen, gewöhnliche Fraktionen, endlose periodische Fraktionen und endlose Dezimalfraktionen.

Viele rationale Nummern Es ist üblich, den lateinischen Brief zu markieren Q.

Beispiele für rationale Zahlen:

  • Dezimalfraktion 1.15 ist 115/100;
  • Dezimalfraktion 0,2 ist 1/2;
  • Eine Ganzzahl 0 ist 0/1;
  • Eine Ganzzahl 6 ist 6/1;
  • Eine Ganzzahl 1 ist 1/1;
  • Unendliche periodische Fraktion 0,33333 ... ist 1/3;
  • Gemischte Zahl Gemischte Zahl- Es ist 25/10;
  • Negative Dezimalfraktion -3.16 ist -316/100.

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Eigenschaften rationaler Zahlen

Rationale Nummern haben bestimmte Gesetze und eine Reihe von Eigenschaften - betrachten jeden von ihnen. Sei A, B und C alle rationalen Zahlen.

Die wichtigsten Eigenschaften von Aktion mit rationalen Zahlen
  • Umzugseigenschaft zusätzlich: A + B = B + A.
  • Die Kombinationseigenschaft von Addition: (A + B) + C = A + (B + C).
  • Die Zugabe einer rationellen Zahl und eines neutralen Elements (Null) ändert diese Zahl nicht: A + 0 = A.
  • Jede rationale Zahl hat eine entgegengesetzte Nummer, und ihre Summe ist immer Null: A + (-a) = 0.
  • Multiplikationsbewegung: AB = BA.
  • Die Kombinationseigenschaft der Multiplikation: (a * b) * c = a * (b * c).
  • Das Produkt einer rationalen Zahl und man ändert diese Nummer nicht: A * 1 = a.
  • Jede unterschiedliche rationale Zahl hat eine umgekehrte Zahl. Ihr Produkt ist gleich einem: A * A - 1 = 1.
  • Die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zu Zugabe: A * (B + C) = A * B + A * C.

Zusätzlich zu den aufgelisteten Main gibt es noch eine Reihe von Eigenschaften:

 
  1. Die Regel der Multiplikation der rationalen Nummern mit unterschiedlichen Zeichen: (-a) * B = -AB. Ein solcher Satz wird sich dagegen erinnern: "Außerdem gibt es einen Minus für einen Minus, und es gibt einen Minus minus."
  2. Die Regel der Multiplikation der negativen rationalen Nummern: (-a) * (-b) = AB. Denken Sie daran, dass der Satz hilft: "Minus für minus ist ein Plus."
  3. Die Regel zur Multiplikation einer beliebigen rationalen Zahl auf Null: A * 0 = 0 oder 0 * A = 0. Wir beweisen diese Eigenschaft. Wir wissen, dass 0 = D + (-d) für alle rationalen d, was ein * 0 = a * (d + (-d) bedeutet) bedeutet. Das Vertriebsgesetz ermöglicht es Ihnen, den Ausdruck neu zu schreiben: a * d + a * (-d) und seit a * (-d) = -ad, dann a * d + a * (-d) = a * d + ( -AD). Dadurch wurde die Summe der zwei entgegengesetzten Zahlen herausgestellt, die als Ergebnis null ergibt, was die Gleichheit a * 0 = 0 beweist.

Wir haben nur die Eigenschaften von Zugabe und Multiplikation aufgelistet. Auf dem Satz von rationellen Zahlen können Subtraktion und Division als Bezugnahme auf Zugabe und Multiplikation aufgenommen werden. Das heißt, der Unterschied (A - B) kann als Summe von A + (-B) geschrieben werden, und der private A / B ist gleich dem Produkt A * B-1 mit B ≠ 0.

Definition der irrationalen Zahl

Irrationale Zahl - Dies ist eine gültige Zahl, die nicht in Form von Teilen von zwei Ganzzahlen ausgedrückt werden kann, dh in einer rationalen Fraktion

rationale Fraktion

Es kann in Form einer unendlichen nicht periodischen Dezimalfraktion ausgedrückt werden.

Endlose periodische Dezimalfraktion - Dies ist ein solcher Fraktion, deren Dezimalzeichen in Form einer Zahlengruppe oder einer und derselben Nummer wiederholt werden.

Beispiele:

  • π = 3,1415926 ...
  • √2 = 1.41421356 ...
  • E = 2.71828182 ...
  • √8 = 2.828427 ...
  • -√11 = -3.31662 ...

Bezeichnung des Satzes irrationaler Zahlen: Lateinischer Brief I.

Gültige oder echte Zahlen - Dies sind alle rationalen und irrationalen Zahlen: positiv, negativ und null.

Eigenschaften von irrationalen Zahlen:

  • Das Ergebnis der Summe der irrationalen Zahl und des RATIONAL ist gleich der irrationalen Zahl;
  • Das Ergebnis der Multiplikation der irrationalen Zahl auf einer rationalen Zahl (≠ 0) ist gleich der irrationalen Zahl;
  • Das Ergebnis der Subtraktion von zwei irrationalen Zahlen ist gleich einer irrationalen Zahl oder Rational;
  • Das Ergebnis der Summe oder des Produkts von zwei irrationalen Zahlen ist rational oder irrational, beispielsweise: √2 * √8 = √16 = 4).

Der Unterschied zwischen Ganzzahlen, natürlichen und rationalen Zahlen

Ganzzahl - Dies sind die Zahlen, die wir verwenden, um etwas Besonderes zu berechnen, greifbar: eine Banane, zwei Notebooks, zehn Stühle.

Aber was ist genau keine natürliche Zahl:

  • Null ist eine ganze Zahl, die beim Hinzufügen oder Subtrahieren mit beliebigen Nummern in derselben Anzahl angibt. Die Multiplikation auf Null ergibt Null.
  • Negative Zahlen: -1, -2, -3, -4.
  • Drobi: 1/2, 3/4, 5/6.

Ganze Zahlen - Dies sind natürliche Zahlen gegenüber ihnen und Null.

Wenn sich zwei Nummern voneinander unterscheiden - werden sie als entgegengesetzt genannt: +2 und -2, +7 und -7. Das Pluszeichen ist normalerweise nicht geschrieben, und wenn kein Zeichen vor der Nummer vorhanden ist, bedeutet dies, dass es positiv ist. Die Zahlen, die dem "Minus" -Zeichen zugewandt sind, werden negativ genannt.

Welche Zahlen werden rational bezeichnet, wir wissen bereits vom ersten Teil des Artikels. Nochmals wiederholen.

Rationale Zahlen - Dies sind endliche Fraktionen und endlose periodische Fraktionen.

Zum Beispiel: Ein Beispiel für rationale Zahlen

Jede rationale Zahl kann in Form einer Fraktion dargestellt werden, in der der Zähler zu den Ganzzahlen gehört, und der Nenner ist natürlich. In vielen rationalen Nummern schließen daher viele Ganzzahlen und natürliche Zahlen ein.

Viele rationale Nummern

Aber nicht alle Zahlen können rational bezeichnet werden. Zum Beispiel gehören unendliche nicht periodische Fraktionen nicht zu einem Satz rationaler Zahlen. So können √3 oder π (PI-Nummer) nicht als rationale Zahlen bezeichnet werden.

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Rational Zahlen, die Sie bereits mit ihnen vertraut sind, ist es nur noch, die Regeln zusammenzufassen und zu formulieren. Welche Zahlen werden also rationale Zahlen bezeichnet? In diesem Thema-Lektion ausführlich betrachten.

Das Konzept der rationalen Zahlen.

Definition: Rationale Zahlen - Dies sind die Zahlen, die als Fraktion \ (\ frac {m} {n} \) dargestellt werden können, wobei M eine ganze Zahl ist, und n ist eine natürliche Zahl.

Mit anderen Worten, Sie können sagen:

Rationale Zahlen - Dies sind alle natürlichen Zahlen, Ganzzahlen, gewöhnliche Fraktionen, endlose periodische Fraktionen und endliche Dezimalfraktionen.

Wir werden jeden Artikel detailliert analysieren.

  1. Jede natürliche Zahl kann beispielsweise als Fraktion dargestellt werden, beispielsweise die Nummer 5 = (\ frac {5} {1} \).
  2. Jede Ganzzahl kann als Fraktion dargestellt werden, beispielsweise Zahlen 4, 0 und -2. Wir erhalten 4 = \ (\ frac {4} {1} \), 0 = \ (\ frac {0} {1} \) und -2 = \ (\ frac {-2} {1} \).
  3. Gewöhnliche Fraktionen werden bereits in rationaler Form aufgezeichnet, z. B. \ (\ frac {6} {11} \) und \ (\ frac {9} {2} \).
  4. Unendliche periodische Fraktionen, zum Beispiel 0,8 (3) = \ (\ frac {5} {6} \).
  5. Finite Dezimalfraktionen, zum Beispiel 0,5 = \ (\ frac {5} {10} = \ frac {1} {2} \).

Viele rationale Zahlen.

Erinnern Sie sich daran, dass der Satz von natürlichen Zahlen von dem lateinischen Buchstaben von N bezeichnet wird. Die Spezifikation von Ganzzahlen wird durch den lateinischen Buchstaben z.a angezeigt. Der Satz von rationalen Zahlen wird durch den lateinischen Buchstaben Q angezeigt.

In vielen rationalen Zahlen umfassen viele Ganzzahlen und natürliche Nummern den Sinn der rationellen Nummern.

In der Abbildung können Sie eine Vielzahl von rationalen Zahlen zeigen.

Viele rationale Nummern

Aber nicht alle Zahlen sind rational. Es gibt noch viele verschiedene Zahlen, die Sie in der Zukunft studieren werden. Die reflektierenden unangemessenen Fraktionen gehören nicht zu dem Satz von rationalen Zahlen. Zum Beispiel die Nummer E, \ (\ sqrt {3} \) oder die Zahl \ ( \ pi \) (die Nummer PI ist gelesen) sind rationale Zahlen.

Fragen zum Thema "Rational Nummern": Welcher Ausdruck ist eine rationale Nummer von Zahlen \ (\ sqrt {5}, -0 (3), 15, \ frac {34} {1569}, \ sqrt {6} \)? Antwort: Die Wurzel von 5 Dieser Ausdruck kann nicht in Form von natürlich einem Bruchteil oder einer unendlichen periodischen Fraktion eingereicht werden, daher ist diese Zahl nicht rational. Die Referenzdezimalperiodik-Fraktion -0, (3) = \ (- \ frac {3 } {10} \) kann in Form einer Fraktion dargestellt werden, daher ist es eine rationale Zahl. Die Zahl 15 kann als Fraktion (\ Frac {15} {1} \) dargestellt werden, daher ist es ein rationales Nummer. Diese \ (\ frac {34} {1569} \) ist eine rationale Zahl. Anti-6 Dieser Ausdruck kann nicht in Form von Kurs einer Fraktion oder unendlichen periodischen Fraktion eingereicht werden, sodass diese Zahl nicht rational ist.

Schreiben Sie eine Nummer 1 als rationale Zahl? Antwort: Um als rationelle Nummer 1 aufzuschreiben, ist es notwendig, es in Form von Fraktion 1 = \ (\ frac {1} {1} \) zu präsentieren.

Beweisen Sie, dass die Nummer \ (\ sqrt {0.0049} \) rational ist? Beweise: \ (\ Sqrt {0,0049} = 0,07 \)

Ist eine einfache Zahl unter der Wurzel einer rationalen Zahl? Antwort: Nein. Beispielsweise ist jede einfache Zahl unter der Wurzel 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... nicht aus der Wurzel genommen und kann nicht in Form von natürlich der Fraktion oder unendlichen periodischen Fraktion dargestellt werden, daher ist daher keine Rationale Zahl.

Das Thema rationaler Zahlen ist ziemlich umfangreich. Sie können darüber unendlich sprechen und ganze Werke schreiben, jedes Mal überrascht von neuen Chips.

Um Fehlern in der Zukunft zu vermeiden, werden wir in dieser Lektion in diesem Unterricht etwas tiefer im Thema rationaler Zahlen sein, ich zeichne die notwendigen Informationen von ihm und weiter.

Was ist eine rationale Zahl?

Rationale Zahl ist eine Zahl, die als Fraktion dargestellt werden kann Ein geteilt durch bwo ein - Dies ist ein Bruchzähler, b- Nenner des Fraci. Außerdem bEs sollte nicht null sein, da die Division nicht erlaubt ist.

Die folgenden Zahlenkategorien umfassen rationale Zahlen:

  • Ganzzahlen (zum Beispiel -2, -1, 0 1, 2 usw.)
  • Gewöhnliche Fraktionen (zum Beispiel) eine Hälfteein Dritteldreiviertelusw.)
  • Gemischte Zahlen (zum Beispiel zwei ganze Zahlen eine Sekundeein ganzes zweiter drittMinus zwei integer ein Drittelusw.)
  • Dezimalfraktionen (zum Beispiel 0,2 usw.)
  • Unendliche periodische Fraktionen (zum Beispiel 0, (3) usw.)

Jede Anzahl dieser Kategorie kann als Fraktion dargestellt werden Ein geteilt durch b .

Beispiele:

Beispiel 1. Eine Ganzzahl 2 kann als Fraktion dargestellt werden Die ersten zwei. Die Nummer 2 bezieht sich also nicht nur auf ganzzahlige Zahlen, sondern auch auf Rational.

Beispiel 2. Gemischte Zahl zwei ganze Zahlen eine Sekundekann als Fraktion dargestellt werden Fünf Sekunden. Diese Fraktion wird durch die Übertragung einer gemischten Zahl auf die falsche Fraktion erhalten

Übersetzung von zwei Ganzzahl eins an der falschen Fraktion

So gemischte Zahl. zwei ganze Zahlen eine Sekundebezieht sich auf rationale Zahlen.

Beispiel 3. Dezimalfraktion 0,2 kann als Fraktion dargestellt werden Zwei zehntel. Diese Fraktion erwies sich mit der Übertragung der Dezimalfraktion 0.2 auf eine gewöhnliche Fraktion. Wenn Sie in diesem Moment Schwierigkeiten haben, wiederholen Sie das Thema Dezimalfraktionen.

Da der Dezimalfraktion 0,2 als Fraktion dargestellt werden kann Zwei zehntelDies bedeutet, dass es sich auch auf rationale Zahlen bezieht.

Beispiel 4. Unendliche periodische Fraktion 0, (3) kann als Fraktion dargestellt werden Drei newns.. Diese Fraktion wird erhalten, indem eine saubere periodische Fraktion in einer gewöhnlichen Fraktion übertragen wird. Wenn Sie in diesem Moment Schwierigkeiten haben, wiederholen Sie das Thema periodischer Fraktionen.

Da kann die endlose periodische Fraktion 0, (3) als Fraktion dargestellt werden können Drei newns.Dies bedeutet, dass es sich auch auf rationale Zahlen bezieht.

In der Zukunft werden wir alle Zahlen, die in Form einer Fraktion dargestellt werden können, zunehmend in einem Satz aufgerufen werden - Rationale Zahlen .

Rational Nummern auf der Koordinaten direkt

Die Koordinaten-Direct haben wir berücksichtigt, wenn die negativen Zahlen untersucht wurden. Erinnern Sie sich, dass dies eine gerade Linie ist, auf der es viele Zahlen gibt. Folgendermaßen:

Abstimmung direkter Abbildung 1

Diese Figur zeigt ein kleines Fragment der Koordinaten direkt von -5 bis 5.

Markieren Sie auf der Koordinate direkter Ganzzahl der Spezies 2, 0, -3 ist nicht schwierig.

Es ist viel interessantere Dinge mit dem Rest der Zahlen: mit gewöhnlichen Fraktionen, gemischten Zahlen, Dezimalfraktionen usw. Diese Zahlen liegen zwischen den Ganzzahlen und diese Zahlen sind unendlich viel.

Zum Beispiel notieren wir zur Koordinaten-direkter rationaler Zahl eine Hälfte. Diese Nummer befindet sich genau zwischen Null und Einheit

Eine Sekunde auf der Koordinaten direkt

Versuchen wir, zu verstehen, warum der Bruchteil eine HälftePlötzlich zwischen Null und Einheit niedergelassen.

Wie oben erwähnt, gibt es andere Zahlen zwischen Ganzzahlen - gewöhnliche Fraktionen, Dezimalfraktionen, gemischte Zahlen usw. Wenn Sie beispielsweise den Abschnitt in der Koordinatenlinie von 0 auf 1 erhöhen, können Sie das folgende Bild sehen

Koordinieren Sie direkt von Null zu einem

Es ist ersichtlich, dass es bereits andere rationale Nummern zwischen den Ganzzahlen 0 und 1 gibt, die den Dezimalfraktionen für uns bekannt sind. Unsere Fraktion ist hier sichtbar eine Hälftedas dort befindet, wo und der Dezimalfraktion 0,5 beträgt. Aufmerksame Berücksichtigung dieses Bildes gibt die Antwort auf die Frage, warum der Fraktion eine HälfteEs befindet sich dort.

Fraktion eine Hälftebedeutet geteilt 1 bis 2. und wenn 1 bis 2 geteilt, erhalten wir 0,5

Einheit unterteilt in zwei fünfte

Die Dezimalfraktion 0.5 kann maskiert werden und unter den anderen Fraktionen. Von der Haupteigenschaft der Fraktion wissen wir, dass, wenn der Zähler und das Denomotor des Fraci in dieselbe Anzahl multiplizieren oder aufgeteilt wird, der Fraktionswert nicht ändert.

Wenn der Zähler und der Nenner eine HälfteMultiplizieren Sie mit einer beliebigen Anzahl, beispielsweise um Nummer 4, dann erhalten wir einen neuen Bruchteil Vier Achtelund diese Fraktion sowie eine Hälftegleich 0,5.

Vier aufgeteilt für acht gleich null bis fünf zehntel

Und deshalb auf der Koordinatenaufnahme Vier Achtelkann sich an derselben Stelle befinden, an der sich der Bruch befand befindet eine Hälfte

Vier achte auf der koordinate direkt

Beispiel 2. Lassen Sie uns versuchen, die rationale Nummer der Koordinate zu beachten Drei Sekunden. Diese Nummer befindet sich genau zwischen den Zahlen 1 und 2

drei Sekunde auf der Koordinaten direkt

Der Wert des Fraci Drei SekundenGleich 1.5.

Drei in zwei eingeteiltes In zwei werden ein ganz fünf Zehntel sein

Wenn Sie den Bereich der Koordinaten direkt von 1 bis 2 erhöhen, sehen wir das folgende Bild:

Koordinieren Sie direkt von einem bis zwei

Es ist ersichtlich, dass es bereits andere rationale Nummern zwischen den Ganzzahlen 1 und 2 gibt, die den Dezimalfraktionen für uns bekannt sind. Unsere Fraktion ist hier sichtbar Drei SekundenWelches befindet sich dort, wo und der Dezimalfraktion 1.5.

Wir haben bestimmte Segmente auf die Koordinaten direkt gesteigert, um die anderen Zahlen in diesem Segment zu sehen. Infolgedessen fanden wir Dezimalfraktionen, die nach einem Komma eine Ziffer hatten.

Dies waren jedoch nicht die einzige Anzahl, die auf diesen Segmenten liegen. Die auf der Koordinaten direkt liegenden Zahlen ist unglaublich viel.

Es ist nicht schwer zu erraten, dass es bereits andere Dezimalfraktionen zwischen Dezimalfraktionen mit einer Dezimalfraktion gibt, die nach einem Komma zwei Ziffern haben. Mit anderen Worten, Hundertstel Teile des Segments.

Versuchen wir zum Beispiel, die Zahlen zu sehen, die zwischen Dezimalfraktionen 0,1 und 0,2 liegen

Koordinieren Sie direkt von null bis ein Zehntel bis zwei Zehntel

Ein anderes Beispiel. Dezimalfraktionen mit zwei Ziffern nach einem Komma und zwischen Null liegen und eine rationale Anzahl von 0,1 aussehen.

Koordinate direkt von Null bis Null ein Zehntel

Beispiel 3. Hinweis zur Koordinaten-direkter Rationalnummer Ein fünfzigst. Diese rationale Zahl ist sehr nahe an Null

eine fünfzigste auf der Koordinate direkt

Der Wert des Fraci Ein fünfzigstGleich 0,02.

Einheit, die durch fünfzig davon getrennt ist, entspricht Null bis zu zwei Hundertstel

Wenn wir das Segment von 0 auf 0,1 erhöhen, werden wir sehen, wo die rationale Zahl genau ist. Ein fünfzigst

Ein Fünfzigh auf einer Koordinate direkt von 0 bis 0,1

Es ist ersichtlich, dass unsere rationale Zahl Ein fünfzigstEs befindet sich dort, wo und der Dezimalfraktion 0,02 beträgt.

Beispiel 4. Hinweis zur Koordinate direkter rationaler Nummer 0, (3)

Die rationale Zahl 0, (3) ist eine unendliche periodische Fraktion. Sein fraktionierter Teil endet nie, sie ist unendlich

0,33333 .... und so weiter in unendlich ..

Und da in Zahlen 0, (3) der fraktionierte Teil unendlich ist, bedeutet dies, dass wir nicht in der Lage sein, den genauen Platz auf der Koordinaten direkt zu finden, wo sich diese Nummer befindet. Wir können diesen Ort nur ungefähr angeben.

Die rationale Zahl ist 0,33333 ... wird sehr nahe an der üblichen Dezimalfraktion 0.3 sein

Null ganz und drei in der Zeit der Koordinaten direkt

Diese Zeichnung zeigt nicht den genauen Ort der Nummer 0, (3). Dies ist nur eine Darstellung, die zeigt, wie die periodische Fraktion 0, (3) eng auf eine herkömmliche Dezimalfraktion 0,3 angeordnet werden kann.

Beispiel 5 Hinweis zur Koordinaten-direkter Rationalnummer zwei ganze Zahlen eine Sekunde. Diese rationale Zahl befindet sich in der Mitte zwischen den Zahlen 2 und 3

Zwei ganze und eine Sekunde auf der Koordinaten direkt

zwei ganze Zahlen eine SekundeEs ist 2 (zwei Ganzzahlen) und eine Hälfte(eine Hälfte). Fraktion eine Hälfteanders auch als "Hälfte" genannt. Daher haben wir auf der Koordinate, zwei ganze Segmente und eine weitere Hälfte des Segments festgestellt.

Wenn Sie eine gemischte Zahl übersetzen zwei ganze Zahlen eine SekundeIn der falschen Fraktion erhalten wir einen gewöhnlichen Bruchteil Fünf Sekunden. Diese Fraktion auf der Koordinaten-Direct befindet sich dort, wo und der Fraktion zwei ganze Zahlen eine Sekunde

Fünf Sekunde auf der Koordinaten direkt

Der Wert des Fraci Fünf SekundenGleichermaßen 2.5.

Fünf in zwei eingeteiltes In zwei werden ein ganz fünf Zehntel sein

Wenn Sie den Bereich der Koordinatenlinie von 2 bis 3 erhöhen, sehen wir das folgende Bild:

Fünf Sekunden auf der Koordinate direkt von zwei bis drei

Es ist ersichtlich, dass unsere rationale Zahl Fünf SekundenDort gelegen, wo und der Dezimalfraktion 2.5

Minus vor einer rationalen Zahl

In der vorherigen Lektion, die als Multiplikation und Abteilung von Ganzzahlen genannt wurde, haben wir gelernt, Ganzzahlen zu teilen. Die Rolle einer Dividide und der Teiler könnte sowohl positive als auch negative Zahlen ertragen.

Betrachten Sie den einfachsten Ausdruck

(-6): 2 = -3

In diesem Ausdruck ist teilbar (-6) eine negative Zahl.

Betrachten Sie nun den zweiten Ausdruck

6: (-2) = -3

Hier ist eine negative Zahl ein Teiler (-2). In beiden Fällen erhalten wir jedoch die gleiche Antwort -3.

In Anbetracht dessen, dass jede Geschäftsbereich in Form einer Fraktion verfasst werden kann, können wir auch die Beispiele überprüfen, die auch in Form eines Bruchteils geschrieben wurden:

Minus sechs aufgeteilt in zwei gleiche minus drei

Sechs unterteilt in minus zwei gleiche minus drei

Da in beiden Fällen der Fraktionswert derselbe ist, kann Minus, der entweder in einem Zähler in dem Nenner entweder im Nenner steht, mit einem allgemeinen hergestellt werden, der ihn vor dem Fraktion einsetzt

Minus sechs unterteilt in zwei oder minus sechs Sekunden gleich minus drei

Sechs unterteilt in minus zwei oder minus sechs Sekunden gleich minus drei

Daher zwischen Ausdrücke minus sechs unterteilt in zwei    и Sechs in minus zwei aufgeteilt    и  Minus sechs SekundenSie können ein Zeichen der Gleichheit setzen, weil sie die gleiche Bedeutung tragen

Minus sechs unterteilt in zwei gleich sechs aufgeteilte in minus zwei gleiche gleich minus sechs Sekunden

In der Zukunft arbeiten wir mit Fraktionen, wenn der Minus uns in einem Zähler oder in dem Nenner trifft, wir machen dieses Minus gemeinsam und setzen ihn vor dem Betrug ein.

Entgegengesetzte rationale Nummern

Neben einer Ganzzahl hat die rationale Zahl ihre entgegengesetzte Zahl.

Zum Beispiel für eine rationale Zahl eine HälfteDie entgegengesetzte Nummer ist Minus eine Sekunde. Es befindet sich an der Koordinaten-direkten symmetrischen Lage. eine Hälfterelativ zum Start von Koordinaten. Mit anderen Worten, beide dieser Zahlen sind von Anfang an äquidistant.

minus eine Sekunde und eine Sekunde auf der Koordinaten direkt

Übersetzung von gemischten Zahlen in falschen Fraktionen

Wir wissen, dass Sie, um eine gemischte Zahl in der falschen Fraktion zu übersetzen, den Nenner des fraktionierten Teils multiplizieren und dem fraktionierten Teil hinzufügen. Die resultierende Anzahl ist der Zähler der neuen Fraktion, und der Nenner bleibt gleich.

Zum Beispiel übersetzen wir die gemischte Zahl zwei ganze Zahlen eine SekundeIn der falschen Schuss

Multiplizieren Sie ein ganzteiliges Teil dem Nenner des fraktionierten Teils und fügen Sie eine fraktionierte Teilenummer hinzu:

(2 × 2) + 1

Berechnen Sie diesen Ausdruck:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Die resultierende Zahl 5 ist der Zähler eines neuen Fraktions, und der Nenner bleibt gleich:

Fünf Sekunden

Das vollständig gegebene Verfahren wird wie folgt geschrieben:

Übersetzung von zwei Ganzzahl eins an der falschen Fraktion

Um die ursprüngliche gemischte Zahl zurückzugeben, reicht es aus, den gesamten Teil in der Fraktion hervorzuheben Fünf Sekunden

Zuteilung des gesamten Teils in der Fraktion fünf Sekunde

Diese Methode zur Übersetzung der gemischten Zahl auf die falsche Fraktion ist jedoch nur anwendbar, wenn die gemischte Zahl positiv ist. Für eine negative Zahl funktioniert diese Methode nicht.

Eine Fraktion betrachten Minus fünf Sekunden. Wir heben in dieser Fraktion einen ganzen Teil hervor. Erhalten Minus zwei integer eine Sekunde

Zuteilung des gesamten Teils im zerquetschten minus fünf Sekunden

Um die anfängliche Fraktion zurückzugeben Minus fünf Sekundenmüssen eine gemischte Zahl übersetzen Minus zwei integer eine SekundeIn der falschen Fraktion. Wenn wir jedoch die alte Regel verwenden, multiplizieren wir nämlich die Ganzzahl am Nenner des fraktionalen Teils und dazu, die Zahl des fraktionierten Teils der resultierenden Zahl hinzuzufügen, erhalten wir den folgenden Widerspruch:

Übersetzung minus zwei integer eine Sekunde bis zur falschen Fraktion

Wir haben einen Bruchteil erhalten Minus drei Sekundenund musste einen Fraktion bekommen Minus fünf Sekunden .

Wir schließen daraus, dass die gemischte Zahl Minus zwei integer eine SekundeIn der falschen Fraktion wurde falsch übersetzt:

Minus zwei integer eine Sekunde

Um eine negative gemischte Zahl in der falschen Fraktion richtig umzusetzen, müssen Sie mit dem Nenner des fraktionierten Teils und von der resultierenden Anzahl multiplizieren subtrahieren Splitterfraktionierter Teil. In diesem Fall fallen wir alle ein

Die richtige Übersetzung des minus von zwei ganzen intengrüner eine Sekunde an den falschen Fraktion

Negative gemischte Zahl. Minus zwei integer eine Sekundeist das Gegenteil für eine gemischte Zahl zwei ganze Zahlen eine Sekunde. Wenn eine positive gemischte Zahl zwei ganze Zahlen eine SekundeBefindet sich auf der rechten Seite und sieht aus wie

Zwei ganze und eine Sekunde auf der Koordinaten direkt

dann negative gemischte Zahl Minus zwei integer eine Sekundewird auf der linken Seite symmetrisch lokalisiert zwei ganze Zahlen eine SekundeDer relative Start der Koordinaten

Minus zwei ganzzahlige Ganzzahl eins Sekunden und zwei und zwei Sekunden auf der Koordinaten direkt

Und wenn zwei ganze Zahlen eine Sekundeals "zwei ganzes und eine Sekunde" lesen, dann Minus zwei integer eine SekundeLesen als "Minus zwei ganzen und minus eine Sekunde" . Da Zahlen -2 und Minus eine SekundeGesperrt auf der linken Seite der Koordinaten direkt - sie sind beide negativ.

Jede gemischte Zahl kann in Bereitstellung geschrieben werden. Positive gemischte Zahl. zwei ganze Zahlen eine SekundeIn der Bereitstellung, geschrieben als Zwei plus eine Sekunde.

Eine negative gemischte Zahl Minus zwei integer eine Sekundeaufgenommen als minus zwei ganze minus eine Sekunde

Jetzt können wir verstehen, warum eine gemischte Zahl Minus zwei integer eine SekundeEs befindet sich auf der linken Seite der Koordinaten direkt. Minus vor zwei zeigt an, dass wir für zwei Schritte von Null gezogen werden, da sich dadurch an der Stelle herausgestellt, an der sich die Zahl -2 befindet

Minus zwei auf der Koordinate direkt

Dann, beginnend von der Nummer -2, bewegten sie sich nach links Minus eine SekundeSchritt. Und seit dem Wert Minus eine SekundeGleiche -0,5.5, dann ist unser Schritt von der vollen Schritte die Hälfte.

Minus zwei und minus eine Sekunde auf der Koordinaten direkt

Infolgedessen finden wir mich in der Mitte zwischen den Zahlen -3 und -2

Minus zwei Ganzzahlen und minus eine Sekunde auf der Koordinaten direkt

Beispiel 2. In falscher Fraktion zuordnen Minus zwanzig sieben FünftelGanzteil, dann die resultierende gemischte Zahl zurück, um auf den falschen Bruch zu transportieren

Wir werden den ersten Teil der Aufgabe ausführen, nämlich wir in der falschen Fraktion zuordnen Minus zwanzig sieben FünftelGanzer Teil

Zuteilung des gesamten Teils im zerquetschten minus zwanzig sieben fünfte

Wir werden den zweiten Teil der Aufgabe ausführen, nämlich übersetze ich die resultierende gemischte Zahl Minus fünf ganze FünftelIn der falschen Fraktion. Hierzu multiplizieren Sie den gesamten Teil des Nenners des fraktionalen Teils und von der resultierenden Nummer, die fraktionierte Teilenummer wird subtrahiert:

Übertragen Sie minus fünf Ganzzahl zwei Fünftel in der falschen Fraktion

Wenn es keinen Wunsch gibt, verwirrt zu sein und sich an die neue Regel zu gewöhnen, können Sie eine gemischte Zahl in Klammern herstellen, und Minus hinterlassen der Halterung. Dann ist es möglich, eine alte gute Regel anzuwenden: Multiplizieren Sie ein ganzteiliges Teil an den Nenner des fraktionalen Teils und fügen Sie der resultierenden Zahl eine fraktionierte Teilenummer hinzu.

Führen Sie auf diese Weise die vorherige Aufgabe aus, nämlich übersetze ich die gemischte Zahl Minus fünf ganze FünftelIn der falschen Schuss

Übersetzung minus fünf integer zwei fünfte in der falschen Fraktion mit Klammern

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