Números racionales ℹ️ en matemáticas, definición, propiedades, acción sobre ellos, ejemplos, cómo demostrar que el número es racional

Números racionales lo que es

Los números racionales se pueden discutir hasta el infinito, encontrar nuevos chips y errores tolerantes en la comprensión.

Para evitar problemas con tales números, vale la pena considerar algunas de estas información sobre ellos. Esto ayudará a asimilar el material y proporcionar el conocimiento necesario en matemáticas.

Que constituye

Para empezar, debe entenderse que los números se llaman racionales. Esos se consideran fracciones en forma de un numerador y denominador. Además, este último no debe ser cero, ya que la división en dicho número se considera inválida.

Las categorías de números pueden ser denotadas por RACIONAL:

¿Qué números se llama racional?
  1. Números enteros, ya sean positivos o negativos.
  2. Expresiones fraccionantes matemáticas de diferentes tipos.
  3. Combinación de ordinaria y fraccionaria.
  4. Fracciones decimales.
  5. Fracciones periódicas infinitas.

Todos los grupos de expresiones indicadas se representan como fracción A / B. Por ejemplo, el número 2 se puede representar en forma de fracciones 2/1, lo que hace posible atribuirla tanto a todo y racional.

De manera similar, en forma de fracciones, fracciones periódicas mixtas e infinitas se pueden representar. Por lo tanto, para tales expresiones, la designación es números racionales.

En la coordenada directa

Anteriormente, al estudiar números negativos en las lecciones de la escuela, se introdujo el concepto de coordenada directa. Hay muchos puntos en tal línea. Especialmente difícil de resolver la búsqueda de fracciones y indicadores mixtos, ya que Mentir entre enteros en cantidades infinitas:

Ejemplos de números racionales
  • Por ejemplo, la fracción 0.5 se encuentra entre cero y unidad. Si aumenta el intervalo de tal línea recta, es fácil ver fraccional de 0.1 a 0.9, cuesta ½ en el medio. De la misma manera, las fracciones matemáticas del Formulario 3/6, 4/8, etc. pueden enmascararse.
  • En cuanto a la fracción 3/2, se encuentra en una línea aritmética entre unidad y dos. Entre ellos en grandes números hay fracciones decimales, incluidas las deseadas. Un aumento en ciertos segmentos da una idea de que aún se encuentra en la coordenada directa entre el entero. Como resultado, las expresiones aparecieron después de un semicolón de una señal. Y tales valores un gran conjunto, incluso entre fraccional.
  • Pero es posible encontrar el lugar real de la infinita fracción periódica solo porque va al infinito. Puede encontrar muchas ilustraciones de lo cerca que se puede ubicar la fracción en términos reales.

Por lo tanto, al considerar lo que significa un número racional sobre la coordinación directa, es importante conocer su apariencia y es posible convertirlo a otro. A menudo es necesario encontrar una propiedad separada o ilustrar la tarea utilizando segmentos específicos.

Si vale la pena menos

Cuando los escolares pasaron por el tema de la multiplicación y las divisiones, se conocieron: en el papel de los divisores y divisibles pueden actuar como expresiones negativas y positivas.

¿Qué son los números racionales en matemáticas?

Por lo tanto, las variaciones 6: -2 = -3 y -6: 2 = -3 tienen el mismo resultado, aunque el signo menos tiene partes diferentes.

Porque Cada división puede ser representada como una fracción. , menos se establece en un numerador o en el denominador. Ya sea común.

Entre las tres variaciones, puede poner un signo de igualdad, ya que su resultado es el mismo número.

Cada uno de los indicadores racionales tiene lo contrario.

Por ejemplo, para la fracción ½ es -1 y sus variaciones. Ambos son equidistantes al comienzo de las coordenadas y se encuentran en el medio.

Traducción a fracciones

La transferencia de una expresión mixta a la fracción incorrecta se lleva a cabo utilizando la multiplicación por el denominador, la parte fraccional y agregue al numerador. La nueva fracción resultante con el mismo denominador.

Puede considerar el algoritmo en el siguiente ejemplo simple:

Muchos números racionales
  • Hay 2.5, que debe traducirse en la fracción equivocada.
  • El indicador completo debe multiplicarse por el canal de la pieza fraccionada y agregue el numerador de la misma parte.
  • El valor resultante se puede restar como (2 * 2) + 1 = 4 + 1 = 5.
  • 5 será un numerador, y el denominador será el mismo y resultará 5/2.
  • Devolver la mezcla inicial se puede resaltar en su totalidad.

Sin embargo, este método no es adecuado para un valor negativo. Si usa la regla anterior y asigne toda la parte, puede obtener una contradicción del formulario: (-2 * 2) + ½ = -3 / 2, aunque fue necesario obtener -5/2.

Por lo tanto, debe definir otro método. La parte entera se multiplica por el denominador de la parte fraccionaria. . A partir del valor resultante, se resta el numerador de la parte fraccionaria. Y luego resulta la respuesta correcta.

Gracias a la coordenada directa, se puede entender por qué se mezclan -2,5 se encuentra en el lado izquierdo. Menos indica un cambio a la izquierda en el número de dos pasos. El golpe ocurrió en el punto -2. Después de eso, el turno sigue siendo medio paso y el medio entre -3 y -2.

Comparación de números entre ellos.

De las lecciones anteriores, es fácil probar que el derecho a la derecha es el valor, más es. Y por el contrario, más quejarse de la situación sugiere que el valor en consideración es menor que otro indicador.

El valor de qué expresión es un número racional.

Para tales casos, cuando se logra la comparación de los números simplemente, existe una regla: de 2 números con signos positivos, que tiene más módulo. Y por negativo, es, cuyo módulo es menor. Por ejemplo, hay números -4 y -2. Al comparar los módulos, se puede decir que -4 menos -2.

Al mismo tiempo, los recién llegados a menudo admiten el siguiente error. : Confundido por el módulo y directamente el número. Después de todo, el módulo -3 y el módulo -1 no indica que -3 es más -1, pero al contrario. Esto se puede entender de la coordenada directa, donde la primera se deja a la izquierda de la segunda. Si desea comparar los valores, es importante prestar atención a los signos. Menos habla de la negatividad de la expresión y viceversa.

Algunos ejemplos

Es algo más complicado relacionarse con los números mixtos, la extracción de las raíces, los valores fraccionarios. Tomará cambiar las reglas, ya que no siempre es posible describirlas en la coordenada directa. En este sentido, se requiere compararlos de otras maneras que en la escuela:

¿Qué significa el número racional?
  1. Por ejemplo, hay dos valores negativos, a saber, -3/5 y -7/3.
  2. Primero hay módulos en forma de 3/5 y 7/3, que son positivos.
  3. Luego, cada uno es conducido a un denominador común que sobresale 15.
  4. Basado en la regla para valores negativos, racional -3/5 más -7/3, ya que su módulo es menor.

Es más fácil comparar los módulos de partes enteras, porque puede responder rápidamente a la pregunta. Se sabe que las partes completas son más importantes en comparación con las fracciones. Si observa los números 15.4 y 2,1212, entonces toda la parte del primer número es más que la segunda, y por lo tanto la fracción.

La situación es algo más complicada con un ejemplo en el que hay valores de -3.4 y -3.7. Los módulos de números enteros son los mismos, por lo tanto, deberán compararse con valores racionales. Luego resulta que -3.4 más es -3.7, ya que su módulo es menor.

Al comparar la fracción simple y periódica, este último debe traducirse en el estándar. Entonces, 0, (3) se convierte en 3/9. Comparando, traduce las fracciones al denominador total 0, (3) y 4/8, resulta 24/72 y 36/72. Naturalmente, 24/72 <36/72. Es decir, un módulo 4/8 módulo más grande 0, (3), significa que se considera grande.

Los números racionales son un tema extenso. Su estudio se considera bastante difícil, exigiendo tener en cuenta muchos matices y explicaciones de los puntos principales, acciones con números aritméticos, etc. A pesar de la aparente sencillez, el programa para determinar qué números son racionales y las comparaciones se compilan, teniendo en cuenta la presencia de partes fraccionarias, señales después de una coma y antes de la expresión.

Depende de la búsqueda de la respuesta correcta y la solución de la tarea general, incluida la búsqueda de intereses y volúmenes.

Los indicadores racionales pueden relacionarse con los asistentes en la transición a las secciones complejas en este curso de matemáticas y dar una idea de expresiones numéricas naturales y decimales en general y, en particular, en casos inusuales.

Todos escucharon sobre números racionales, pero no todos entienden que representan. De hecho, todo es simple.

Fuente: Yandex.
Fuente: Yandex.

Número racional - Este es el resultado de dividir dos enteros. Por ejemplo, el número 2 es el resultado de dividir 4 y 2, y el número 0.2 es 2 dividido por 10. Cualquier número racional que podamos presentar por usted mismo en forma de una fracción M / N. dónde mes un entero n- Número natural.

¿Cómo se ven los números racionales? Puede ser:

  • Fracciones (1/2, 5/10)
  • Enteros (1, 2, 5)
  • Numeros mezclados
  • Fracciones decimales (0.14, 4,1)
  • Fracciones periódicas infinitas (por ejemplo, al dividir 10 a 3, obtenemos 3,33333 ...)

Q - Designación de un conjunto de números racionales.

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Propiedades de números racionales

  • Cada número natural es racional.
  • Cada número entero es racional.
  • Números racionales siguen la regla. Impresionante y en movimiento Propiedades. Es decir, de los cambios en los lugares de los términos del valor de suma para no cambiar.

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

A + 0 = A

A + (- A) = 0

Ejemplos:

2 + 3 = 5 y 3 + 2 = 5, significa 2 + 3 = 3 + 2.

14+ (1 + 4) = 19 y (14 + 1) + 4 = 19, lo que significa 14+ (1 + 4) = (14 + 1) +4

  • También estas leyes se almacenan al multiplicar.

a × b = b × a

A × (b × c) = (A × b) × c

a × 1 = a

A × 1 / a = 1

A × 0 = 0

A × b = 0

Ejemplos:

3x4 = 12 y 4x3 = 12, significa 3x4 = 4x3

5x (2x3) = 30 y (5x2) x3 = 30, significa 5x (2x3) = (5x2) x3

  • Para los números racionales, la ley de distribución de la multiplicación será equitativa.

(A + B) × C = AC + BC

(A - B) × C = AC - BC

Ejemplos:

(4 + 7) x5 = 55 y 4x5 + 7x5 = 55, lo que significa (4 + 7) x5 = 4x5 + 7x5

Números y raíces irracionales.

Para comprender mejor qué tipo de números racionales son, debe saber qué números no lo son. O más bien, qué números serán irracionales. Dichos números no se pueden escribir en forma de una fracción simple:

  • El número de PI, que es de aproximadamente 3.14. Puede representarse como una fracción, pero este valor será solo aproximado.
  • Algunas raíces. Por ejemplo, la raíz de 2 o de 99 no se puede escribir como una fracción
  • Sección de oro, que es aproximadamente igual a 1.61. Aquí la situación es la misma que con el número de PI.
  • El número de EULER, que es de aproximadamente 2,718, tampoco es racional.
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Los números más irracionales se encuentran entre las raíces, pero no todas las raíces irracionales. Por ejemplo, la raíz del número 4 es el número 2, y se puede representar como una fracción. Es decir, la raíz de entre 4 es un número racional.

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¿Qué son los números racionales?

14 de enero de 2021.

Hola, queridos lectores de blogs ktonanovenkogo.ru. Hoy hablaremos sobre los términos matemáticos.

Y esta vez le contaremos todo sobre números racionales. Están necesariamente entrando en el programa escolar, y los niños comienzan a estudiarlos en el grado 6.

La palabra "racional" es familiar para muchos. Y debajo de ella implica algo "lógico" y "derecho". De hecho, es.

Los números racionales son ...

El término tiene una raíz latina, y traducida "relación" significa "número", "cálculo", "razón", "razonamiento" y "numeración". Pero hay otras traducciones - "fracción" y "división".

Número racional: cualquier número que se pueda mostrar En forma de fracciones A / B . Aquí hay un entero, y B es natural.

Vale la pena recordar que:

  1. Números enteros - Estos son todos los números posibles como negativos y positivos. Y también aplica cero. La condición principal: no deben ser fraccionantes. Es decir, -15, 0 y +256 se pueden llamar enteros, y 2.5 o -3.78 - NO.
  2. Enteros - Estos son los números que se utilizan con la puntuación, es decir, tienen "origen natural". Esta es una serie de 1, 2, 3, 4, 5, y así sucesivamente al infinito. Pero cero y números negativos, así como fraccionados, no pertenecen a los naturales.

Y si aplica estas definiciones, podemos decir que:

El número racional es generalmente todos los números posibles, excepto infinitos fracciones decimales no periódicas infinitas. Entre ellos se encuentran naturales y enteros, fracciones decimales ordinarias y finitas, así como fracciones periódicas sin fin.

Esquema

Historia del estudio de números racionales.

No se conoce cuando las personas comenzaron a estudiar las fracciones. Hay una opinión que hace muchos miles de años. Y todo comenzó con una división banal. Por ejemplo, alguien tenía que ser dividido, pero no funcionó en partes iguales. Pero resultó que cualquier otro, y cuánto en el apéndice.

Lo más probable es que la fracción se estudió en el antiguo Egipto, y en la antigua Grecia. Luego Matemáticas muy avanzadas en la ciencia. Y es difícil asumir que este tema siguió siendo estudiado. Aunque, desafortunadamente, ninguna de las obras no se encontraron instrucciones específicas sobre los números racionales.

Matemático

Pero se cree oficialmente que el concepto de fracción decimal apareció en Europa en 1585. Este término matemático en sus escritos perpetuó por un ingeniero holandés y matemático Simon Stevein.

Antes de la ciencia, era un comerciante ordinario. Y lo más probable es que estuvo en casos comerciales que a menudo se enfrentaban a números fraccionarios. Lo que luego se describe en su libro "Décimo".

En él, Stevech no solo explicó la utilidad de las fracciones decimales, sino también en todos los sentidos promovió su uso. Por ejemplo, en un sistema de medidas para determinar con precisión el valor de algo.

Variedades de números racionales

Ya hemos escrito que los conceptos de números racionales caen casi todas las opciones posibles. Ahora considere las opciones existentes con más detalle:

  1. Enteros . Cualquier número de 1 y hasta el infinito se puede representar como una fracción. Es suficiente recordar la simple regla matemática. Si divide el número por unidad, entonces será el mismo número. Por ejemplo, 5 = 5/1, 27 = 27/1, 136 = 136/1 y así sucesivamente.
  2. Números enteros . Exactamente la misma lógica, que en el caso de los números naturales, actúa aquí. Los números negativos también se pueden representar como una fracción con la división por unidad. Y también estará en relación con cero. Por ejemplo, -356 = -356/1, -3 = -3/1, 0 = 0/1 y así sucesivamente.
  3. Fracciones ordinarias . Esto se refiere directamente a la definición de números racionales. Por ejemplo, 6/11, 2/5, -3/10 y así sucesivamente.
  4. Fracciones periódicas infinitas . Estos son los números que, después de la coma, los infinitos signos y su secuencia se repiten. Los ejemplos más simples 1/3, 5/6 y así sucesivamente.
  5. Fracciones decimales finitas . Estos son los números que se pueden registrar en dos opciones diferentes, y en las que hay un número muy específico de punto y coma. El ejemplo más fácil es la mitad. Se puede denotar por un tiro de 0,5 o una fracción de ½.

Todos los números que están incluidos en el concepto de racional se denominan una multitud de números racionales. En matemáticas es aceptada para marcar latín. Letra Q. .

Y gráficamente se puede representar así:

Números

Propiedades de números racionales

Números racionales obedecer Todas las principales leyes de matemáticas. :

  1. A + B = B + A
  2. A + (B + C) = (A + C) + con
  3. A + 0 = A
  4. A + (-A) = 0
  5. A * b = v * a
  6. A * 1 = a
  7. A * 0 = 0
  8. (A + C) * C = A * C + V * C
  9. (A - C) * C = A * C - V * con

Por el bien de los intereses, puede intentar sustituir cualquier número en lugar de letras y asegurarse de que estas leyes sean ciertas.

En lugar de encarcelamiento

Una vez que hay números racionales en matemáticas, significa que deben ser opuestos. Así que hay - se les llama irracional . Estos son números que no se pueden escribir en forma de fracción ordinaria.

Estos números pertenecen al "PI" constante matemático. Muchos saben que es igual a 3.14 y un número infinito de signos decimales, y su secuencia nunca se repite.

Numeros irracionales

Además, los números irracionales relacionan muchas raíces. Esto se aplica a aquellos que no obtienen un entero. El ejemplo más fácil es la raíz de 2. Pero este es el tema para otro artículo.

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El número racional es un número que puede representarse como una fracción. Aquellos. Si el número se puede obtener dividiendo dos enteros (número sin pieza fraccional), esto es racional.

Este es un número que puede ser enviado por un disparo ordinario. M / N., donde el numerador m es un número entero, y el denominador N es un número natural.

Por ejemplo:

  • 1,15 - un número racional de t. Puede representarse como 115/100;
  • 0.5 - un número racional porque es 1/2;
  • 0 es un número racional porque es 0/1;
  • 3 - Número racional porque es 3/1;
  • 1 - Número racional porque es 1/1;
  • 0.33333 ... - Número racional, porque es 1/3;
  • -5.4 - El número racional porque es -54/10 = -27/5.

Un montón de Los números racionales se indican por la letra. "Q" .

La palabra "racional" se originó en latín "Ratio", que tiene varios valores: el número, el cálculo, la numeración, el razonamiento, la mente, etc.

Propiedades de números racionales

Supongamos a, B y C, cualquier número racional.

Movimiento y leyes combinadas.

A + B = B + A, por ejemplo: 2 + 3 = 3 + 2;

A + (B + C) = (A + B) + C, por ejemplo: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4;

A + 0 = A, por ejemplo: 2 + 0 = 2;

A + (- A) = 0, por ejemplo: 2 + (- 2) = 0

Movimiento y leyes combinadas al multiplicar.

A × B = B × A, por ejemplo: 2 × 3 = 3 × 2

A × (B × C) = (A × B) × C, por ejemplo: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4

A × 1 = a, por ejemplo: 2 × 1 = 2

A × 1 / a = 1, si A ≠ 0; Por ejemplo: 2 × 1/2 = 1

A × 0 = 0, por ejemplo: 2 × 0 = 0

A × b = 0, significa: o a = 0, o b = 0, o ambos son cero

Multiplicación de la ley de distribución

Para la adición:

(y +b) × s = a с + bсPor ejemplo: (2 + 3) × 4 = 2 × 4 + 3 × 4

Para la resta:

(y b) × с = A. с bсPor ejemplo: (3 - 2) × 4 = 3 × 4 - 2 × 4

Numeros irracionales

Números irracionales: lo opuesto a los números racionales, estos son aquellos que no se pueden escribir como una fracción simple.

Por ejemplo:

  • El número PI = 3,14159 ... se puede escribir como 22/7, pero solo será sobre и lejos de cierto 22/7 = 3,142857 ..);
  • √2 y √99 - irracional, ya que son imposibles de registrar una fracción (las raíces suelen ser irracionales, pero no siempre);
  • e (número) = 2.72 - irracional, ya que es imposible registrar una fracción;
  • La sección transversal de oro φ = 1.618 ... - irracional, ya que es imposible registrar una fracción.

Un montón de Los números irracionales se indican por la letra. "I" .

¿Cuál es la diferencia entre números enteros, naturales y racionales?

Los enteros son números naturales opuestos a los números (debajo de cero) y cero.

Por ejemplo:

Todos los enteros son racionales Números (naturales incluyendo), porque pueden ser representados como una fracción ordinaria.

Un montón de Los enteros en matemáticas se indican por la letra. Z.

Enteros

Los números naturales son solo enteros a partir de 1.

Por ejemplo:

Esta cuenta apareció de una manera natural cuando las personas todavía pensaron en los dedos y no sabían los números ("Tengo tantas cabras, cuántos dedos en ambas manos"), por lo que cero no está incluida en los números naturales.

Un montón de Los números naturales en matemáticas se indican por la letra. N.

¿Todas las fracciones decimales son números racionales?

Fracciones decimales parecen:

Estas son las fracciones habituales que el denominador es igual a 10, 100, 1000, etc. Nuestros ejemplos podemos escribir en este formulario:

3,4 =. 3,4.;

2,19 =. 2,19 ;

0.561 =. 0,561.

Esto significa que cualquier Finito La fracción decimal es un número racional.

Alguien Fracción periódica También puede enviar en forma de una fracción ordinaria:

(3 repeticiones)
(3 repeticiones)

En consecuencia, cualquier fracción periódica es un número racional.

Pero las fracciones decimales infinitas y no periódicas no se consideran números racionales, ya que no se pueden mostrar en forma de una fracción ordinaria.

Puede recordar cómo la cuna es que el número pag. (3,14159 ...) irracional . Tiene muchas marcas de no refinación después de la coma y es imposible imaginar en forma de fracción ordinaria.

Raíces - números racionales o irracionales?

La parte abrumadora de las raíces cuadradas y cúbicas es números irracionales. Pero hay excepciones: si se puede representar como una fracción (por definición de un número racional). Por ejemplo:

  • √2 = 1,414214 ... - irracional;
  • √3 = 1.732050 ... - irracional;
  • ∛7 = 1,912931 ... - irracional;
  • √4 = 2 - racional (2 = 2/1);
  • √9 = 3 - racional (3 = 3/1).

La historia de los números racionales y las fracciones.

La primera mención conocida de los números irracionales fue entre 800 y 500 aC. mi. En Indian Sulba Sutra.

La primera prueba de la existencia de números irracionales pertenece al antiguo filósofo griego de Hippas Pitágoras del Metapont. Probó (probablemente geométricamente) la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2.

La leyenda afirma que los hipópatas de Metapont abrieron números irracionales cuando intentó presentar una raíz cuadrada de 2 en forma de una fracción. Sin embargo, Pitágoras creyó en el número absoluto y no pudo aceptar la existencia de números irracionales.

Se cree que debido a esto, hubo un conflicto entre ellos, lo que generó muchas leyendas. Muchos dicen que este descubrimiento fue asesinado por Hipas.

En los registros babilónicos en matemáticas, a menudo es posible ver un sistema de números de seis meses en el que ya se han utilizado las fracciones. Estos registros se realizaron hace más de 4,000 años, el sistema era un poco diferente, como nosotros, pero el punto es el mismo.

Los egipcios que vivían en un período posterior también tenían su propia forma de escribir fracciones, algo similar a: 3⁻⁻ o 5⁻⁻.

Obtenga más información sobre los números naturales, el número PI, los números de Fibonacci y el expositor.

Determinación de números racionales.

Número racional - Este es un número que puede representarse como una fracción ordinaria positiva o negativa o número de cero. Si se puede obtener el número dividiendo dos enteros, este es un número racional.

Los números racionales son aquellos que pueden ser representados como

Tipo de números racionales

Donde el numerador M es un número entero, y el denominador N es un número natural.

Numeros racionales - Estos son todos naturales, enteros, fracciones ordinarias, fracciones periódicas sin fin y fracciones decimales finales.

Muchos números racionales Es habitual marcar la letra latina. Q.

Ejemplos de números racionales:

  • Fracción decimal 1.15 es 115/100;
  • Fracción decimal 0.2 es 1/2;
  • Un entero 0 es 0/1;
  • Un entero 6 es 6/1;
  • Un entero 1 es 1/1;
  • Fracción periódica infinita 0,33333 ... es 1/3;
  • Numero mixto Numero mixto- Son 25/10;
  • Fracción decimal negativa -3.16 es -316/100.

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Propiedades de números racionales

Los números racionales tienen ciertas leyes y una serie de propiedades, consideran cada uno de ellos. Deje que A, B y C sean cualquier número racional.

Las principales propiedades de la acción con números racionales.
  • Propiedad en movimiento de la adición: A + B = B + a.
  • La propiedad combinada de la adición: (A + B) + C = A + (B + C).
  • La adición de un número racional y un elemento neutro (cero) no cambia este número: A + 0 = a.
  • Cada número racional tiene un número opuesto, y su suma es siempre cero: A + (-A) = 0.
  • Movimiento de multiplicación: ab = ba.
  • La propiedad combinada de la multiplicación: (A * B) * C = A * (B * C).
  • El producto de un número racional y uno no cambia este número: A * 1 = a.
  • Cada número racional diferente tiene un número inverso. Su producto es igual a uno: A * A - 1 = 1.
  • La propiedad de distribución de la multiplicación en relación con la adición: A * (B + C) = A * B + A * C.

Además de la lista principal, todavía hay una serie de propiedades:

 
  1. La regla de la multiplicación de números racionales con diferentes signos: (-A) * B = -B. Tal frase ayudará a recordar: "Además, hay un menos para un menos, y hay un menos menos".
  2. La regla de la multiplicación de números racionales negativos: (-A) * (-B) = AB. Recuerde que la frase ayudará: "menos para menos, hay una ventaja".
  3. La regla de multiplicar un número racional arbitrario a cero: A * 0 = 0 o 0 * A = 0. Probamos esta propiedad. Sabemos que 0 = D + (-D) para cualquier racional D, lo que significa A * 0 = A * (D + (-D)). La Ley de Distribución le permite reescribir la expresión: A * D + A * (-D), y desde A * (-D) = -An, luego A * D + A * (-D) = A * D + ( -Ad). Esto resultó en la suma de dos números opuestos, lo que, como resultado, da cero, lo que demuestra la igualdad A * 0 = 0.

Listamos solo las propiedades de la adición y la multiplicación. En el conjunto de números racionales, la resta y la división se pueden registrar como se refiere a la adición y la multiplicación. Es decir, la diferencia (A - B) se puede escribir como la suma de A + (-B), y el A / B privado es igual al producto A * B-1, con B ≠ 0.

Definición del número irracional.

Numero irracional - Este es un número válido que no se puede expresar en forma de dividir dos enteros, es decir, en una fracción racional

fracción racional

Puede expresarse en forma de una fracción decimal no periódica infinita.

Fracción decimal periódica sin fin - Esta es una fracción de forma, cuyos signos decimales se repiten en forma de un grupo de números o uno y el mismo número.

Ejemplos:

  • π = 3,1415926 ...
  • √2 = 1,41421356 ...
  • E = 2,71828182 ...
  • √8 = 2.828427 ...
  • -√11 = -3.31662 ...

Designación del conjunto de números irracionales: letra latina. I.

Números válidos o reales - Estos son todos racionales e irracionales números: positivo, negativo y cero.

Propiedades de los números irracionales:

  • El resultado de la suma del número irracional y racional es igual al número irracional;
  • El resultado de la multiplicación del número irracional en cualquier número racional (≠ 0) es igual al número irracional;
  • El resultado de la resta de dos números irracionales es igual a un número irracional o racional;
  • El resultado de la suma o el producto de dos números irracionales es racional o irracional, por ejemplo: √2 * √8 = √16 = 4).

La diferencia entre números enteros, naturales y racionales.

Enteros - Estos son los números que utilizamos para calcular algo específico, tangible: un plátano, dos cuadernos, diez sillas.

Pero lo que es exactamente no es un número natural:

  • Cero es un número entero que al agregar o restar con cualquier número como resultado, dará el mismo número. La multiplicación en cero da cero.
  • Números negativos: -1, -2, -3, -4.
  • DROBI: 1/2, 3/4, 5/6.

Números enteros - Estos son números naturales opuestos a ellos y cero.

Si dos números difieren entre sí, se llaman opuestos: +2 y -2, +7 y -7. El signo más generalmente no está escrito, y si no hay ninguna señal antes del número, significa que es positivo. Los números que enfrentan el signo "menos" se denominan negativos.

¿Qué números se llama racional que ya sabemos de la primera parte del artículo? Repite otra vez.

Numeros racionales - Estas son fracciones finitas y fracciones periódicas sin fin.

Por ejemplo: Un ejemplo de números racionales

Cualquier número racional se puede representar en forma de una fracción, en la que el numerador pertenece a los enteros, y el denominador es natural. Por lo tanto, en muchos números racionales incluyen muchos enteros y números naturales.

Muchos números racionales

Pero no todos los números pueden ser llamados racionales. Por ejemplo, las fracciones no periódicas infinitas no pertenecen a un conjunto de números racionales. Así que √3 o π (número PI) no se puede llamar números racionales.

¡Así que descubrió! Y, si no, llegue a las emocionantes lecciones de matemáticas en la escuela en línea de Skysmart. No hay libros de texto aburridos: el niño está esperando clases interactivas, cómics matemáticos y maestros que nunca se dejarán en problemas.

Números racionales que ya está familiarizado con ellos, sigue siendo solo resumir y formular las reglas. Entonces, ¿qué números se llaman números racionales? Considere en detalle en esta lección de tema.

El concepto de números racionales.

Definición: Numeros racionales - Estos son los números que pueden representarse como fraccionamiento \ (\ frac {m} {n} \), donde M es un número entero, y n es un número natural.

En otras palabras, puedes decir:

Numeros racionales - Estos son todos los números naturales, enteros, fracciones ordinarias, fracciones periódicas sin fin y fracciones decimales finitas.

Analizaremos cada artículo en detalle.

  1. Cualquier número natural puede representarse como una fracción, por ejemplo, el número 5 = \ (\ frac {5} {1} \).
  2. Cualquier entero se puede representar como una fracción, por ejemplo, los números 4, 0 y -2. Obtenemos 4 = \ (\ frac {4} {1} \), 0 = \ (\ frac {0} {1} \) y -2 = \ (\ frac {-2} {1} \).
  3. Las fracciones ordinarias ya están registradas en forma racional, por ejemplo, \ (\ frac {6} {11} \) y \ (\ frac {9} {2} \).
  4. Fracciones periódicas infinitas, por ejemplo, 0.8 (3) = \ (\ frac {5} {6} \).
  5. Fracciones decimales finitas, por ejemplo, 0.5 = \ (\ frac {5} {10} = \ frac {1} {2} \).

Muchos números racionales.

Recuerde que el conjunto de números naturales se denota por la letra latina de N. especificaciones de enteros se indica por la letra latina Z.A. El conjunto de números racionales está indicado por la letra latina Q.

En muchos números racionales, muchos enteros y números naturales incluyen el significado de números racionales.

En la figura puede mostrar una variedad de números racionales.

Muchos números racionales

Pero no todos los números son racionales. Todavía hay muchos números diferentes, que en el futuro estudiarán. Las fracciones reflectantes no pertenentes no pertenecen al conjunto de números racionales. Por ejemplo, el número E, \ (\ SQRT {3} \) o el número \ ( \ PI \) (el número PI se lee) son números racionales.

Preguntas sobre el tema "Números racionales": ¿Qué expresión es un número racional de los números \ (\ sqrt {5}, -0. (3), 15, \ frac {34} {1569}, \ SQRT {6} \)? Respuesta: La raíz de 5 Esta expresión no se puede enviar en forma, por supuesto, una fracción o una fracción periódica infinita, por lo tanto, este número no es racional. La fracción periódica decimal de referencia -0, (3) = \ (- \ frac {3 } {10} \) en forma de una fracción, por lo tanto, es un número racional. El número 15 se puede representar como una fracción \ (\ frac {15} {1} \), por lo tanto, es un número racional. Estos \ (\ Frac {34} {1569} \) es un número racional. Anti-6 Esta expresión no se puede enviar en forma, por supuesto, una fracción o una fracción periódica infinita, por lo que este número no es racional.

Escribe un número 1 como un número racional? Respuesta: Para anotar como un número racional 1, es necesario presentarlo en forma de fracción 1 = \ (\ frac {1} {1} \).

Demostrar que el número \ (\ sqrt {0.0049} \) es racional? Evidencia: \ (\ Sqrt {0,0049} = 0.07 \)

¿Es un número simple bajo la raíz de un número racional? Respuesta: No. Por ejemplo, cualquier número simple bajo la raíz 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... no fuera de la raíz y no se puede representar en la forma, por supuesto, la fracción o la fracción periódica infinita, por lo tanto, no es un número racional.

El tema de los números racionales es bastante extenso. Puedes hablar de ella infinitamente y escribir trabajos enteros, cada vez que se sorprenden con nuevos chips.

Para evitar errores en el futuro, en esta lección seremos un poco más profundos en el tema de los números racionales, dibujo la información necesaria de ella y sigue adelante.

¿Qué es un número racional?

El número racional es un número que puede representarse como una fracción Un dividido por bdónde a - Este es un numerador de fracciones, b- Denominador del Fraci. es más bNo debe ser cero porque no se permite la división.

Las siguientes categorías de números incluyen números racionales:

  • enteros (por ejemplo, -2, -1, 0 1, 2, etc.)
  • Fracciones ordinarias (por ejemplo, un medioun terciotres cuartosetc.)
  • Números mixtos (por ejemplo Dos enteros un segundoun tercero enteromenos dos enteros un tercioetc.)
  • Fracciones decimales (por ejemplo, 0.2, etc.)
  • Fracciones periódicas infinitas (por ejemplo, 0, (3), etc.)

Cada número de esta categoría puede estar representada como una fracción Un dividido por b .

Ejemplos:

Ejemplo 1. Un entero 2 puede ser representado como una fracción Los primeros dos. Entonces, el número 2 se refiere no solo a números enteros, sino también a racional.

Ejemplo 2. Numero mixto Dos enteros un segundopuede ser representado como una fracción Cinco segundos. Esta fracción se obtiene mediante la transferencia de un número mixto a la fracción incorrecta.

Traducción de dos enteros un segundo a la fracción equivocada

Tan número mixto Dos enteros un segundoSe refiere a números racionales.

Ejemplo 3. La fracción decimal 0,2 se puede representar como una fracción Dos décimas. Esta fracción resultó por la transferencia de la fracción decimal de 0.2 a una fracción ordinaria. Si está teniendo dificultades en este momento, repita el tema de las fracciones decimales.

Dado que la fracción decimal 0.2 se puede representar como una fracción Dos décimasSignifica que también se refiere a números racionales.

Ejemplo 4. Fracción periódica infinita 0, (3) se puede representar como una fracción Tres novanos. Esta fracción se obtiene transfiriendo una fracción periódica limpia en una fracción ordinaria. Si está teniendo dificultades en este momento, repita el tema de las fracciones periódicas.

Dado que la infinita fracción periódica 0, (3) se puede representar como una fracción Tres novanosSignifica que también se refiere a números racionales.

En el futuro, todos los números que pueden representarse en forma de fracción, se llamaremos cada vez más en una frase. numeros racionales .

Números racionales en la coordenada directa.

La coordenada directas que consideramos cuando se estudiaron los números negativos. Recuerde que esta es una línea recta en la que hay muchos números. Como sigue:

Coordinar la figura 1

Esta figura muestra un pequeño fragmento de la coordenada directa de -5 a 5.

Marque en los enteros directos de la coordenada de la especie 2, 0, -3 no es difícil.

Es muchas más cosas interesantes con el resto de los números: con fracciones ordinarias, números mixtos, fracciones decimales, etc. Estos números se encuentran entre los enteros y estos números son infinitamente.

Por ejemplo, notamos en el número Rational Direct Coordenate Direct un medio. Este número se encuentra exactamente entre cero y unidad

Un segundo en la coordenada directa

Tratemos de entender por qué la fracción. un medioDe repente se asentó entre cero y unidad.

Como se mencionó anteriormente, hay otros números entre enteros: fracciones ordinarias, fracciones decimales, números mixtos, etc. Por ejemplo, si aumenta la sección en la línea de coordenadas de 0 a 1, puede ver la siguiente imagen

Coordenada directamente de cero a uno

Se puede ver que ya hay otros números racionales entre los enteros 0 y 1, que son familiares para las fracciones decimales para nosotros. Nuestra fracción es visible aquí. un medioque se encuentra allí, donde y la fracción decimal es 0.5. La atención atenta de esta imagen da la respuesta a la pregunta de por qué la fracción. un medioSe encuentra allí.

Fracción un mediosignifica dividido 1 a 2. Y si se divide 1 a 2, entonces obtenemos 0.5

Unidad dividida en dos quinta

La fracción decimal 0.5 puede ser enmascarada y bajo las otras fracciones. Desde la propiedad principal de la fracción, sabemos que si el numerador y el denomotor del Fraci se multiplican o se dividen en el mismo número, entonces el valor de la fracción no cambiará.

Si el numerador y el denominador. un medioMultiplique por cualquier número, por ejemplo, por el número 4, entonces obtendremos una nueva fracción Cuatro octavos, y esta fracción, así como un medioigual a 0.5

Cuatro divididos por ocho es igual a cero hasta cinco décimas

Y por lo tanto en el disparo de coordenadas Cuatro octavosse puede ubicar en el mismo lugar donde se localizó la fracción un medio

Cuatro octavos en la coordenada directa

Ejemplo 2. Intentemos notar en el número racional de coordenadas Tres segundos. Este número se encuentra exactamente entre los números 1 y 2

Tres segundos en la coordenada directa.

El valor del fraci Tres segundosIgual 1.5

Tres divididos en dos serán cada cinco décimas.

Si aumenta el área de la coordenada directa de 1 a 2, veremos la siguiente imagen:

coordinar directamente de uno a dos

Se puede ver que ya hay otros números racionales entre los enteros 1 y 2, que son familiares para las fracciones decimales para nosotros. Nuestra fracción es visible aquí. Tres segundosque se encuentra allí, donde y la fracción decimal 1.5.

Aumentamos ciertos segmentos en la coordenada directa para ver los otros números que se encuentran en este segmento. Como resultado, encontramos fracciones decimales que tenían un dígito después de una coma.

Pero estos no fueron los únicos números que se encuentran en estos segmentos. Los números que se encuentran en la coordenada directa son infinitamente mucho.

No es difícil adivinar que ya existen otras fracciones decimales entre las fracciones decimales que tienen una fracción decimal, con dos dígitos después de una coma. En otras palabras, centésima partes del segmento.

Por ejemplo, intentemos ver los números que se encuentran entre las fracciones decimales 0.1 y 0.2

Coordinar directamente de cero a una décima a dos décimas

Otro ejemplo. Fracciones decimales que tienen dos dígitos después de una coma y que se encuentran entre cero y un número racional de 0.1 se ve así:

coordenada directamente de cero a cero una décima

Ejemplo 3. Nota sobre el número racional directo de coordenadas Una quinta. Este número racional estará muy cerca de cero.

Una quincuagura en la coordenada directa.

El valor del fraci Una quintaIgual 0.02

Unidad separada por cincuenta es igual a cero hasta dos centésimas.

Si aumentamos el segmento de 0 a 0.1, veremos dónde es preciso el número racional. Una quinta

Una quincuagante en una coordenada directa de 0 a 0.1

Se puede ver que nuestro número racional Una quintaSe encuentra allí, donde y la fracción decimal es 0.02.

Ejemplo 4. Nota sobre la coordenada RACIONAL DIRECTA 0, (3)

El número racional 0, (3) es una fracción periódica infinita. Su parte fraccional nunca termina, ella es infinita.

0,33333 .... y así sucesivamente al infinito ..

Y desde los números 0, (3) la parte fraccionaria es infinita, esto significa que no podremos encontrar el lugar exacto en la coordenada directa, donde se encuentra este número. Solo podemos especificar este lugar aproximadamente.

El número racional es 0.33333 ... estará muy cerca de la fracción decimal habitual 0.3

Zero entero y tres en el período en la coordenada directa

Este dibujo no muestra la ubicación exacta del número 0, (3). Esto es solo una ilustración que muestra cómo la fracción periódica 0, (3) se puede colocar estrechamente a una fracción decimal convencional 0.3.

Ejemplo 5. Nota sobre el número racional directo de coordenadas Dos enteros un segundo. Este número racional se ubicará en el medio entre los números 2 y 3.

Dos enteros y un segundo en la coordenada directa.

Dos enteros un segundoEs 2 (dos enteros) y un medio(un medio). Fracción un medioDiferentemente también llamado "la mitad". Por lo tanto, señalamos en la coordenada directa de dos segmentos completos y otra mitad del segmento.

Si traduces un número mixto Dos enteros un segundoEn la fracción equivocada, entonces tenemos una fracción ordinaria. Cinco segundos. Esta fracción en la coordenada directa se ubicará allí, donde y la fracción. Dos enteros un segundo

Cinco segundos en la coordenada directa.

El valor del fraci Cinco segundosIgualmente 2.5

Cinco divididos en dos serán cada cinco décimas.

Si aumenta el área de la línea recta de coordenadas de 2 a 3, veremos la siguiente imagen:

Cinco segundos en la coordenada directa de dos a tres.

Se puede ver que nuestro número racional Cinco segundosUbicado allí, donde y la fracción decimal 2.5

Menos antes de un número racional

En la lección anterior, que se llamaba multiplicación y división de enteros, aprendimos a compartir enteros. El papel de una división y divisor podría soportar números positivos y negativos.

Considerar la expresión más simple

(-6): 2 = -3

En esta expresión, divisible (-6) es un número negativo.

Ahora considera la segunda expresión.

6: (-2) = -3

Aquí, un número negativo es un divisor (-2). Pero en ambos casos obtenemos la misma respuesta -3.

Teniendo en cuenta que cualquier división se puede escribir en forma de fracción, también podemos revisar los ejemplos también escritos en forma de una fracción:

menos seis divididos en dos iguales menos tres

seis divididos en menos dos iguales menos tres

Y, dado que en ambos casos, el valor de la fracción es el mismo, ya sea menos de pie en un numerador en el denominador se puede hacer con un general, poniéndolo antes de la fracción

menos seis divididos en dos o menos seis segundos igual a menos tres

seis divididos en menos dos o menos seis segundos igual a menos tres

Por lo tanto, entre expresiones menos seis divididos en dos    и seis divididos en menos dos    и  Menos seis segundoPuedes poner un signo de igualdad porque tienen el mismo significado.

menos seis divididos en dos es igual a seis divididos en menos dos iguales menos seis segundos

En el futuro, trabajar con fracciones si los menos nos reunirán en un numerador o en el denominador, haremos esto menos común, poniéndolo antes del fraude.

Números racionales opuestos

Además de un número entero, el número racional tiene su número opuesto.

Por ejemplo, para un número racional un medioEl número opuesto es Menos un segundo. Se encuentra en la ubicación simétrica directa de coordenadas. un medioEn relación con el inicio de las coordenadas. En otras palabras, ambos números son equidistantes desde el inicio de las coordenadas.

menos un segundo y un segundo en la coordenada directa

Traducción de números mixtos en fracción incorrecta.

Sabemos que para traducir un número mixto en la fracción incorrecta, debe multiplicar el denominador de la parte fraccional y agregar a la parte fraccionada. El número resultante será el numerador de la nueva fracción, y el denominador sigue siendo el mismo.

Por ejemplo, traducimos el número mixto. Dos enteros un segundoEn el tiro equivocado

Multiplique una parte entera al denominador de la parte fraccional y agregue un número de pieza fraccional:

(2 × 2) + 1

Calcule esta expresión:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

El número 5 resultante será el numerador de una nueva fracción, y el denominador seguirá siendo el mismo:

Cinco segundos

El procedimiento completamente dado está escrito de la siguiente manera:

Traducción de dos enteros un segundo a la fracción equivocada

Para devolver el número mixto original, es suficiente para resaltar toda la parte en la fracción. Cinco segundos

Asignación de toda la parte en la fracción de cinco segundos.

Pero este método para traducir el número mixto a la fracción incorrecta es aplicable solo si el número mixto es positivo. Para un número negativo, este método no funcionará.

Considera una fracción Menos cinco segundo. Destacamos en esta fracción toda una parte. Recibir menos dos entero un segundo

Asignación de toda la parte en el aplastado menos cinco segundos.

Para devolver la fracción inicial. Menos cinco segundoNecesito traducir un número mixto menos dos entero un segundoEn la fracción equivocada. Pero si usamos la antigua regla, a saber, multiplicaremos el entero en el denominador de la parte fraccional y agregaremos el número de la parte fraccionaria al número resultante, obtendremos la siguiente contradicción:

traducción menos dos enteros un segundo a la fracción equivocada

Recibimos una fracción Menos tres segundos, y tuvo que conseguir una fracción. Menos cinco segundo .

Concluimos que número mixto menos dos entero un segundoEn la fracción equivocada traducida incorrectamente:

menos dos entero un segundo

Para traducir adecuadamente un número mixto negativo en la fracción incorrecta, debe multiplicarse por el denominador de la parte fraccional, y del número resultante sustraer Parte fraccional astilla. En este caso, todos caeremos en su lugar.

La traducción correcta de los menos de dos enteros uno segundo a la fracción incorrecta

Número mezclado negativo menos dos entero un segundoes lo contrario para un número mixto Dos enteros un segundo. Si un número mixto positivo Dos enteros un segundoUbicado en el lado derecho y se ve como

Dos enteros y un segundo en la coordenada directa.

luego número mixto negativo menos dos entero un segundoSe ubicará en el lado izquierdo de simétricamente. Dos enteros un segundoEl inicio relativo de las coordenadas.

Menos dos enteros uno segundo y dos enteros y uno segundo en la coordenada directa

Y si Dos enteros un segundolee como "dos enteros y un segundo", entonces menos dos entero un segundoLeyendo como "Menos dos enteros y menos un segundo" . Desde los números -2 y Menos un segundoBloqueado en el lado izquierdo de la coordenada directa: ambos son negativos.

Cualquier número mixto puede ser escrito en despliegue. Número mixto positivo Dos enteros un segundoEn el despliegue, escrito como Dos más un segundo.

Un número mixto negativo menos dos entero un segundograbado como menos dos menos menos un segundo

Ahora podemos entender por qué un número mixto menos dos entero un segundoSe encuentra en el lado izquierdo de la coordenada directa. Menos antes de que dos indiquemos que nos mudamos de cero durante dos pasos, como resultado, resultó estar en el punto donde el número -2 es

menos dos en la coordenada directa

Luego, a partir del número -2, se mudaron a la izquierda. Menos un segundoPaso. Y desde el valor Menos un segundoIgualmente -0.5, entonces nuestro paso será la mitad del paso completo.

menos dos y menos un segundo en la coordenada directa

Como resultado, me encontraremos en el medio entre los números -3 y -2.

menos dos enteros y menos un segundo en la coordenada directa

Ejemplo 2. Asignar en fracción incorrecta menos veintisiete quintosParte entera, luego el número mixto resultante para transferir a la fracción incorrecta

Ejecutaremos la primera parte de la tarea, a saber, asignamos la fracción equivocada. menos veintisiete quintosToda una parte

Asignación de toda la parte en el aplastado menos veintisiete quinto

Ejecutaremos la segunda parte de la tarea, a saber, traduciré el número mixto resultante menos cinco cinco quintosEn la fracción equivocada. Para esto, multiplique toda la parte al denominador de la parte fraccionaria y del número resultante, se restará el número de pieza fraccionado:

Transferencia menos cinco enteros dos quintos en la fracción equivocada

Si no hay ningún deseo de confundirse y acostumbrarse a la nueva regla, entonces puede hacer un número mixto entre paréntesis, y menos deje detrás del soporte. Luego, será posible aplicar una antigua regla bueno: multiplique una parte entera al denominador de la parte fraccional y agregue un número de pieza fraccional al número resultante.

Realice la tarea anterior de esta manera, a saber, traducido el número mixto menos cinco cinco quintosEn el tiro equivocado

Traducción menos cinco enteros dos quintos en la solución de fracción incorrecta con soportes

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