तर्कसंगत संख्या ℹ️ गणित, परिभाषा, गुण, उन पर कार्रवाई, उदाहरण, कैसे साबित करें कि संख्या तर्कसंगत है

तर्कसंगत संख्या क्या है

तर्कसंगत संख्याओं पर अनंतता पर चर्चा की जा सकती है, समझने में नए चिप्स और सहिष्णु त्रुटियों को ढूंढना।

ऐसी संख्याओं के साथ समस्याओं से बचने के लिए, इनके बारे में इनमें से कुछ जानकारी पर विचार करना उचित है। इससे सामग्री को आत्मसात करने और गणित में आवश्यक ज्ञान प्रदान करने में मदद मिलेगी।

क्या गठन होता है

शुरू करने के लिए, यह समझा जाना चाहिए कि क्या संख्या को तर्कसंगत कहा जाता है। उन्हें एक संख्यात्मक और denominator के रूप में भिन्नता माना जाता है। इसके अलावा, उत्तरार्द्ध शून्य नहीं होना चाहिए, क्योंकि इस तरह के एक संख्या पर विभाजन अमान्य माना जाता है।

संख्याओं की श्रेणियों को तर्कसंगत रूप से दर्शाया जा सकता है:

क्या संख्या को तर्कसंगत कहा जाता है
  1. पूरी संख्या, चाहे सकारात्मक या नकारात्मक।
  2. विभिन्न प्रकार के गणितीय आंशिक अभिव्यक्ति।
  3. साधारण और आंशिक का संयोजन।
  4. दशमलव भाग।
  5. अनंत आवधिक अंश।

संकेतित अभिव्यक्तियों के सभी समूहों को ए / बी अंश के रूप में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 2 को 2/1 अंशों के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो इसे पूरे और तर्कसंगत दोनों के लिए विशेषता देना संभव बनाता है।

इसी प्रकार, अंशों के रूप में, मिश्रित और अंतहीन आवधिक अंशों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। इसलिए, इस तरह के अभिव्यक्तियों के लिए, पदनाम तर्कसंगत संख्या है।

समन्वय प्रत्यक्ष पर

पहले, स्कूल के पाठों में नकारात्मक संख्याओं का अध्ययन करते समय, समन्वय प्रत्यक्ष की अवधारणा को पेश किया गया था। ऐसी रेखा पर कई बिंदु हैं। विशेष रूप से भिन्नताओं और मिश्रित संकेतकों के लिए खोज को हल करने में मुश्किल है अनंत मात्रा में पूर्णांक के बीच झूठ बोलना:

तर्कसंगत संख्या उदाहरण
  • उदाहरण के लिए, अंश 0.5 शून्य और इकाई के बीच स्थित है। यदि आप इस तरह की सीधी रेखा के अंतराल को बढ़ाते हैं, तो 0.1 से 0.9 तक आंशिक देखना आसान है, यह बीच में ½ खर्च करता है। इसी तरह, फॉर्म 3/6, 4/8 और इसी तरह के गणितीय अंशों को मुखौटा किया जा सकता है।
  • अंश 3/2 के लिए, यह इकाई और एक twos के बीच एक अंकगणितीय रेखा पर स्थित है। उनके बीच बड़ी संख्या में वांछित सहित दशमलव अंश हैं। कुछ हिस्सों में वृद्धि एक विचार देती है कि यह अभी भी पूर्णांक के बीच निर्देशांक प्रत्यक्ष पर स्थित है। नतीजतन, एक अर्धविराम एक संकेत के बाद अभिव्यक्ति दिखाई दी। और इस तरह के मूल्य एक महान सेट, जिसमें फ्रैक्शनल के बीच शामिल हैं।
  • लेकिन केवल अनंत आवधिक अंश की वास्तविक जगह को ढूंढना संभव है क्योंकि यह अनंतता में जाता है। आप वास्तविक शब्दों में अंश कितना बंद कर सकते हैं, इसके कई चित्रण मिल सकते हैं।

इसलिए, जब पर विचार करते हुए कि एक तर्कसंगत संख्या का समन्वय निर्देशित होता है, तो इसकी उपस्थिति जानना महत्वपूर्ण है और क्या यह दूसरे में परिवर्तित करना संभव है। अक्सर एक अलग संपत्ति खोजने या विशिष्ट सेगमेंट का उपयोग करके कार्य को चित्रित करना आवश्यक है।

यदि ऋण के लायक है

जब स्कूली बच्चों ने गुणा और डिवीजनों के विषय को पारित किया, तो वे ज्ञात हो गए: डिवाइडर और विभाजियों की भूमिका में नकारात्मक और सकारात्मक अभिव्यक्तियों के रूप में कार्य कर सकते हैं।

गणित में तर्कसंगत संख्या क्या है

तो, भिन्नता 6: -2 = -3 और -6: 2 = -3 का एक ही परिणाम है, हालांकि माइनस साइन में अलग-अलग हिस्से हैं।

इसलिये प्रत्येक विभाजन को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है , माइनस एक संख्यात्मक में या denominator में सेट किया गया है। या तो इसे आम बनाओ।

तीनों भिन्नताओं के बीच, आप समानता का संकेत डाल सकते हैं, क्योंकि उनका परिणाम एक ही संख्या है।

प्रत्येक तर्कसंगत संकेतकों के विपरीत है।

उदाहरण के लिए, अंश के लिए ½ -1 और इसकी विविधताएं हैं। दोनों निर्देशांक की शुरुआत के लिए समान हैं और बीच में स्थित हैं।

अंशों में अनुवाद

गलत अंश के लिए एक मिश्रित अभिव्यक्ति का हस्तांतरण संप्रदाय, आंशिक भाग द्वारा गुणा का उपयोग करके किया जाता है और संख्या में जोड़ता है। एक ही denominator के साथ परिणामस्वरूप नया अंश।

आप अगले सरल उदाहरण पर एल्गोरिदम पर विचार कर सकते हैं:

कई तर्कसंगत संख्या
  • 2.5 है, जिसे गलत अंश में अनुवादित किया जाना चाहिए।
  • पूरे सूचक को आंशिक भाग के चैनल द्वारा गुणा किया जाना चाहिए और उसी हिस्से के संख्यात्मक को जोड़ दिया जाना चाहिए।
  • परिणामी मूल्य को (2 * 2) + 1 = 4 + 1 = 5 के रूप में घटाया जा सकता है।
  • 5 एक संख्या होगी, और denominator वही होगा और 5/2 बाहर निकल जाएगा।
  • प्रारंभिक मिश्रित लौटें एक पूरे हिस्से के रूप में हाइलाइट किया जा सकता है।

हालांकि, यह विधि नकारात्मक मूल्य के लिए उपयुक्त नहीं है। यदि आप पूर्व नियम का उपयोग करते हैं और पूरे हिस्से को आवंटित करते हैं, तो आप फॉर्म का विरोधाभास प्राप्त कर सकते हैं: (-2 * 2) + ½ = -3 / 2, हालांकि -5/2 प्राप्त करना आवश्यक था।

इसलिए, आपको एक और विधि परिभाषित करना चाहिए। पूरे हिस्से को आंशिक भाग के संप्रदाय से गुणा किया जाता है। । परिणामी मूल्य से, अंशकालिक भाग का अंक घटाया जाता है। और फिर यह सही उत्तर बताता है।

समन्वय प्रत्यक्ष के लिए धन्यवाद, यह समझा जा सकता है कि क्यों मिश्रित -2,5 बाईं ओर स्थित है। माइनस दो चरणों की संख्या में बाईं ओर एक शिफ्ट इंगित करता है। हिट प्वाइंट -2 पर हुआ। उसके बाद, शिफ्ट अभी भी आधा कदम है और बीच -3 और -2 के बीच मध्य है।

खुद के बीच संख्याओं की तुलना

पिछले पाठों से यह साबित करना आसान है कि दाईं ओर का अधिकार मूल्य है, जितना अधिक है। और इसके विपरीत, स्थिति के अधिक बाएं से पता चलता है कि विचाराधीन मूल्य किसी अन्य संकेतक से कम है।

किस अभिव्यक्ति का मूल्य एक तर्कसंगत संख्या है

ऐसे मामलों के लिए, जब संख्याओं की तुलना बस प्राप्त की जाती है, तो ऐसा नियम होता है: सकारात्मक संकेतों के साथ 2 संख्याओं में से, जिसमें अधिक मॉड्यूल होता है। और नकारात्मक के लिए, यह है, जिसका मॉड्यूल कम है। उदाहरण के लिए, संख्या -4 और -2 हैं। मॉड्यूल की तुलना करते समय, कोई कह सकता है कि -4 कम -2।

उसी समय, नवागंतुक अक्सर निम्न त्रुटि को स्वीकार करते हैं : मॉड्यूल द्वारा उलझन में और सीधे संख्या। आखिरकार, मॉड्यूल -3 और मॉड्यूल -1 इंगित नहीं करता है कि -3 अधिक -1 है, लेकिन इसके विपरीत। इसे समन्वय प्रत्यक्ष से समझा जा सकता है, जहां पहले दूसरे के बाईं ओर छोड़ दिया जाता है। यदि आप मूल्यों की तुलना करना चाहते हैं, तो संकेतों पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है। माइनस अभिव्यक्ति की नकारात्मकता और इसके विपरीत बोलता है।

कुछ उदाहरण

मिश्रित संख्याओं से संबंधित, रूट, आंशिक मानों के निष्कर्षण के लिए यह कुछ और जटिल है। यह नियमों को बदलने के लिए ले जाएगा, क्योंकि समन्वय प्रत्यक्ष पर उन्हें चित्रित करना हमेशा संभव नहीं होता है। इस संबंध में, उन्हें स्कूल की तुलना में अन्य तरीकों से तुलना करने की आवश्यकता है:

तर्कसंगत संख्या का क्या अर्थ है
  1. उदाहरण के लिए, दो नकारात्मक मान हैं, अर्थात् -3/5 और -7/3।
  2. सबसे पहले 3/5 और 7/3 ​​के रूप में मॉड्यूल हैं, जो सकारात्मक हैं।
  3. फिर प्रत्येक को एक आम denominator के लिए प्रेरित किया जाता है जो 15 का विरोध करता है।
  4. नकारात्मक मानों के लिए नियम के आधार पर, तर्कसंगत -3/5 अधिक -7/3, क्योंकि इसका मॉड्यूल कम है।

पूर्णांक भागों के मॉड्यूल की तुलना करना आसान है, क्योंकि आप तुरंत प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं। यह ज्ञात है कि अंशों की तुलना में पूरे हिस्से अधिक महत्वपूर्ण हैं। यदि आप संख्याओं को 15.4 और 2,1212 पर ध्यान देते हैं, तो पहली संख्या का पूरा हिस्सा दूसरे से अधिक है, और इसलिए अंश।

स्थिति एक उदाहरण के साथ कुछ हद तक जटिल है जहां -3.4 और -3.7 के मूल्य हैं। पूर्णांक संख्या के मॉड्यूल समान हैं, इसलिए तर्कसंगत मूल्यों के लिए तुलना की जानी चाहिए। फिर यह पता चला है कि -3.4 अधिक -3.7 है, क्योंकि इसका मॉड्यूल कम है।

सरल और आवधिक अंश की तुलना करते समय, उत्तरार्द्ध का अनुवाद मानक में किया जाना चाहिए। तो, 0, (3) 3/9 हो जाता है। तुलना, अंशों को कुल denominator 0, (3) और 4/8 में अनुवाद करें, यह 24/72 और 36/72 पता चला है। स्वाभाविक रूप से, 24/72 <36/72। यही है, एक मॉड्यूल 4/8 बड़ा मॉड्यूल 0, (3), इसका मतलब है कि इसे बड़ा माना जाता है।

तर्कसंगत संख्या एक व्यापक विषय है। उनके अध्ययन को मुश्किल माना जाता है, मुख्य बिंदुओं के कई बारीकियों और स्पष्टीकरण, अंकगणितीय संख्याओं के साथ क्रियाएं आदि को ध्यान में रखना। प्रतीत सादगी के बावजूद, यह निर्धारित करने के लिए कार्यक्रम तर्कसंगत और तुलना संकलित की जाती है, आंशिक भागों की उपस्थिति, अल्पविराम के बाद और अभिव्यक्ति से पहले संकेतों को ध्यान में रखते हुए।

यह सही उत्तर और समग्र कार्य के समाधान की खोज पर निर्भर करता है, जिसमें ब्याज और वॉल्यूम की खोज शामिल है।

तर्कसंगत संकेतक गणित के इस पाठ्यक्रम में जटिल वर्गों में संक्रमण में सहायकों से संबंधित हो सकते हैं और सामान्य रूप से प्राकृतिक और दशमलव संख्यात्मक अभिव्यक्तियों का विचार करते हैं और विशेष रूप से असामान्य मामलों पर।

सभी ने तर्कसंगत संख्याओं के बारे में सुना, लेकिन हर कोई समझता नहीं है कि वे प्रतिनिधित्व करते हैं। वास्तव में, सबकुछ सरल है।

स्रोत: यांडेक्स।
स्रोत: यांडेक्स।

परिमेय संख्या - यह दो पूर्णांक को विभाजित करने का परिणाम है। उदाहरण के लिए, संख्या 2 4 और 2 को विभाजित करने का नतीजा है, और संख्या 0.2 2 से विभाजित है। किसी भी तर्कसंगत संख्या जिसे हम एक अंश के रूप में अपने लिए प्रस्तुत कर सकते हैं एम / एन। कहां है mएक पूर्णांक है n- प्राकृतिक संख्या।

तर्कसंगत संख्या क्या दिखती है? यह हो सकता है:

  • अंश (1/2, 5/10)
  • पूर्णांक (1, 2, 5)
  • मिश्रित संख्या
  • दशमलव अंश (0.14, 4,1)
  • अंतहीन आवधिक अंश (उदाहरण के लिए, 10 से 3 को विभाजित करते समय, हमें 3,33333 मिलता है ...)

Q - तर्कसंगत संख्याओं के एक सेट का पदनाम।

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तर्कसंगत संख्याओं की गुण

  • प्रत्येक प्राकृतिक संख्या तर्कसंगत है।
  • प्रत्येक पूरी संख्या तर्कसंगत है।
  • तर्कसंगत संख्या नियम का पालन करें लुभावनी और आगे बढ़ना गुण। अर्थात मूल्य के स्थानों के स्थानों में परिवर्तन से नहीं बदला जा सकता है।

ए + बी = बी + ए

(ए + बी) + सी = ए + (बी + सी)

A + 0 = A

ए + (- ए) = 0

उदाहरण:

2 + 3 = 5 और 3 + 2 = 5, इसका मतलब है 2 + 3 = 3 + 2।

14+ (1 + 4) = 19 और (14 + 1) + 4 = 19, जिसका अर्थ है 14+ (1 + 4) = (14 + 1) +4

  • इसके अलावा इन कानूनों को गुणा करते समय संग्रहीत किया जाता है।

एक × बी = बी × ए

ए × (बी × सी) = (ए × बी) × सी

एक × 1 = ए

एक × 1 / ए = 1

A × 0 = 0

A × B = 0

उदाहरण:

3x4 = 12 और 4x3 = 12, इसका मतलब 3x4 = 4x3 है

5x (2x3) = 30 और (5x2) x3 = 30, इसका मतलब है 5x (2x3) = (5x2) x3

  • तर्कसंगत संख्याओं के लिए, गुणा का वितरण कानून न्यायसंगत होगा।

(ए + बी) × सी = एसी + बीसी

(ए - बी) × सी = एसी - बीसी

उदाहरण:

(4 + 7) x5 = 55 और 4x5 + 7x5 = 55, जिसका अर्थ है (4 + 7) x5 = 4x5 + 7x5

अपरिमेय संख्या और जड़ें

बेहतर समझने के लिए कि किस प्रकार की तर्कसंगत संख्याएं हैं, आपको पता होना चाहिए कि संख्या क्या नहीं हैं। या बल्कि, क्या संख्या तर्कहीन होगी। इस तरह के नंबरों को एक साधारण अंश के रूप में नहीं लिखा जा सकता है:

  • पीआई की संख्या, जो लगभग 3.14 है। इसे एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, लेकिन यह मान केवल अनुमानित होगा।
  • कुछ जड़ें। उदाहरण के लिए, 2 या 99 से जड़ को एक अंश के रूप में नहीं लिखा जा सकता है
  • गोल्डन सेक्शन, जो लगभग 1.61 के बराबर है। यहां स्थिति पीआई की संख्या के समान है।
  • यूलर की संख्या, जो लगभग 2,718 है, भी तर्कसंगत नहीं है।
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जड़ों के बीच सबसे तर्कहीन संख्याएं पाए जाते हैं, लेकिन सभी तर्कहीन जड़ें नहीं। उदाहरण के लिए, संख्या 4 की जड़ संख्या 2 है, और इसे एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। यही है, 4 के बीच की जड़ एक तर्कसंगत संख्या है।

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तर्कसंगत संख्या क्या है

14 जनवरी, 2021।

हैलो, प्रिय ब्लॉग पाठकों ktonanovenkogo.ru। आज हम गणितीय शर्तों के बारे में बात करेंगे।

और इस बार हम सभी तर्कसंगत संख्याओं के बारे में बताएंगे। वे जरूरी स्कूल कार्यक्रम में प्रवेश कर रहे हैं, और बच्चे ग्रेड 6 में उनका अध्ययन शुरू करते हैं।

शब्द "तर्कसंगत" कई लोगों से परिचित है। और इसके तहत कुछ "तार्किक" और "सही" का तात्पर्य है। वास्तव में, यह है।

तर्कसंगत संख्याएं हैं ...

इस शब्द में एक लैटिन की जड़ें हैं, और अनुवाद "अनुपात" का अर्थ है "संख्या", "गणना", "कारण", "तर्क" और "संख्या"। लेकिन अन्य अनुवाद हैं - "अंश" और "डिवीजन"।

तर्कसंगत संख्या - कोई भी संख्या जिसे दिखाया जा सकता है अंशों के रूप में ए / बी । यहां एक पूर्णांक है, और बी प्राकृतिक है।

यह याद दिलाने लायक है कि:

  1. पूर्ण संख्याएं - ये सभी संभावित संख्या नकारात्मक और सकारात्मक हैं। और यह शून्य भी लागू होता है। मुख्य स्थिति - उन्हें आंशिक नहीं होना चाहिए। यही है, -15, 0 और +256 को पूर्णांक कहा जा सकता है, और 2.5 या -3.78 - नहीं।
  2. पूर्णांकों - ये ऐसी संख्याएं हैं जिनका उपयोग स्कोर के साथ किया जाता है, यानी, उनके पास "प्राकृतिक मूल" है। यह 1, 2, 3, 4, 5, और इतनी पर एक श्रृंखला है। लेकिन शून्य और नकारात्मक संख्या, साथ ही साथ आंशिक - प्राकृतिक से संबंधित नहीं है।

और यदि आप इन परिभाषाओं को लागू करते हैं, तो हम कह सकते हैं कि:

अनंत संख्या अनंत गैर-आवधिक दशमलव भिन्नताओं को छोड़कर सभी संभावित संख्याएं हैं। उनमें से प्राकृतिक और पूर्णांक, सामान्य और सीमित दशमलव अंश, साथ ही अंतहीन आवधिक अंश भी हैं।

योजना

तर्कसंगत संख्या के अध्ययन का इतिहास

यह ज्ञात नहीं है जब लोगों ने अंशों का अध्ययन करना शुरू किया। एक राय है कि कई हजार साल पहले। और सभी एक बैनल डिवीजन के साथ शुरू हुआ। उदाहरण के लिए, किसी को विभाजित किया जाना था, लेकिन यह बराबर भागों पर काम नहीं किया। लेकिन यह किसी अन्य, और परिशिष्ट में कितना निकला।

सबसे अधिक संभावना है कि प्राचीन मिस्र में और प्राचीन ग्रीस में अंश का अध्ययन किया गया था। तत्कालीन गणित विज्ञान में बहुत उन्नत है। और यह मानना ​​मुश्किल है कि इस विषय ने उन्हें अध्ययन नहीं किया। हालांकि, दुर्भाग्यवश, किसी भी काम को तर्कसंगत संख्याओं पर विशिष्ट निर्देश नहीं मिले।

गणितज्ञ

लेकिन आधिकारिक तौर पर माना जाता है कि 1585 में यूरोप में दशमलव अंश की अवधारणा दिखाई दी। यह गणितीय शब्द उनके लेखों में एक डच अभियंता और गणितज्ञ साइमन स्टीविन द्वारा की जाती है।

विज्ञान से पहले, वह एक सामान्य व्यापारी था। और सबसे अधिक संभावना है, यह व्यापारिक मामलों में था जो अक्सर आंशिक संख्या का सामना करते थे। उसके बाद "दसवीं" पुस्तक में वर्णित है।

इसमें, स्टेवेक ने न केवल दशमलव अंशों की उपयोगिता को समझाया, बल्कि हर तरह से उनके उपयोग को बढ़ावा दिया। उदाहरण के लिए, किसी चीज़ के मूल्य को सटीक रूप से निर्धारित करने के उपायों की एक प्रणाली में।

तर्कसंगत संख्या की किस्में

हमने पहले ही लिखा है कि तर्कसंगत संख्या की अवधारणाएं लगभग सभी संभावित विकल्प गिरती हैं। अब मौजूदा विकल्पों को अधिक विस्तार से मानें:

  1. पूर्णांकों । 1 और अनंत तक किसी भी संख्या को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह सरल गणितीय नियम को याद रखने के लिए पर्याप्त है। यदि आप प्रति इकाई संख्या को विभाजित करते हैं, तो वही संख्या होगी। उदाहरण के लिए, 5 = 5/1, 27 = 27/1, 136 = 136/1 और इसी तरह।
  2. पूर्ण संख्याएं । प्राकृतिक संख्याओं के मामले में, वास्तव में एक ही तर्क, यहां कार्य करता है। प्रति इकाई विभाजन के साथ एक अंश के रूप में नकारात्मक संख्याओं का भी प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। और यह शून्य के संबंध में भी होगा। उदाहरण के लिए, -356 = -356/1, -3 = -3/1, 0 = 0/1 और इसी तरह।
  3. साधारण अंश । यह सीधे तर्कसंगत संख्याओं की परिभाषा को संदर्भित करता है। उदाहरण के लिए, 6/11, 2/5, -3/10 और इसी तरह।
  4. अनंत आवधिक अंश । ये संख्याएं हैं जो, अल्पविराम के बाद, अनंत कई संकेत और उनके अनुक्रम दोहराता है। सबसे सरल उदाहरण 1/3, 5/6 और इसी तरह।
  5. परिमित दशमलव अंश । ये वे संख्याएं हैं जिन्हें दो अलग-अलग विकल्पों में दर्ज किया जा सकता है, और जिसमें एक बहुत ही विशिष्ट अर्धविराम हैं। सबसे आसान उदाहरण आधा है। इसे शॉट 0.5 या अंश ½ द्वारा दर्शाया जा सकता है।

तर्कसंगत की अवधारणा में शामिल सभी संख्याओं को तर्कसंगत संख्याओं की एक भीड़ कहा जाता है। गणित में यह लैटिन को चिह्नित करने के लिए स्वीकार किया जाता है पत्र Q. .

और ग्राफिक रूप से इसे इस तरह चित्रित किया जा सकता है:

नंबर

तर्कसंगत संख्याओं की गुण

तर्कसंगत संख्या का पालन करें गणित के सभी मुख्य कानून :

  1. ए + बी = बी + ए
  2. ए + (बी + सी) = (ए + सी) + के साथ
  3. A + 0 = A
  4. A + (-a) = 0
  5. A * b = v * a
  6. एक * 1 = ए
  7. A * 0 = 0
  8. (A + c) * c = a * c + v * c
  9. (A - c) * c = a * c - v * के साथ

ब्याज के लिए, आप अक्षरों के बजाय किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित करने का प्रयास कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि ये कानून सत्य हैं।

कारावास के बजाय

एक बार गणित में तर्कसंगत संख्याएं होने के बाद, इसका मतलब है कि वे विपरीत होना चाहिए। तो वहाँ हैं - उन्हें बुलाया जाता है तर्कहीन । ये संख्याएं हैं जिन्हें सामान्य अंश के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

ये संख्या गणितीय निरंतर "पीआई" से संबंधित हैं। कई जानते हैं कि यह 3.14 के बराबर है और एक असीमित संख्या में दशमलव संकेत है, और उनके अनुक्रम को कभी भी दोहराया नहीं जाता है।

अपरिमेय संख्या

इसके अलावा, तर्कहीन संख्या कई जड़ों से संबंधित है। यह उन लोगों पर लागू होता है जो पूर्णांक प्राप्त नहीं करते हैं। सबसे आसान उदाहरण 2 की जड़ है। लेकिन यह एक और लेख के लिए विषय है।

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तर्कसंगत संख्या एक संख्या है जिसे एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। वे। यदि संख्या दो पूर्णांकों को विभाजित करके प्राप्त की जा सकती है (बिना आंशिक भाग के संख्या), तो यह तर्कसंगत है।

यह एक संख्या है जिसे एक साधारण शॉट द्वारा प्रस्तुत किया जा सकता है एम / एन।, जहां संख्या एक पूर्णांक है, और denominator n एक प्राकृतिक संख्या है।

उदाहरण के लिए:

  • 1,15 - टी की एक तर्कसंगत संख्या। इसका प्रतिनिधित्व 115/100 के रूप में किया जा सकता है;
  • 0.5 - एक तर्कसंगत संख्या क्योंकि यह 1/2 है;
  • 0 एक तर्कसंगत संख्या है क्योंकि यह 0/1 है;
  • 3 - तर्कसंगत संख्या क्योंकि यह 3/1 है;
  • 1 - तर्कसंगत संख्या क्योंकि यह 1/1 है;
  • 0.33333 ... - तर्कसंगत संख्या, क्योंकि यह 1/3 है;
  • -5.4 - तर्कसंगत संख्या क्योंकि यह -54/10 = -27/5 है।

बहुत सारा तर्कसंगत संख्या पत्र द्वारा इंगित की जाती है "क्यू" .

शब्द "तर्कसंगत" लैटिन "अनुपात" से उत्पन्न हुआ, जिसमें कई मूल्य हैं - संख्या, गणना, संख्या, तर्क, दिमाग इत्यादि।

तर्कसंगत संख्याओं की गुण

मान लीजिए ए, बी और सी - कोई तर्कसंगत संख्या।

आंदोलन और संयोजन कानून

ए + बी = बी + ए, उदाहरण के लिए: 2 + 3 = 3 + 2;

ए + (बी + सी) = (ए + बी) + एस, उदाहरण के लिए: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4;

ए + 0 = ए, उदाहरण के लिए: 2 + 0 = 2;

ए + (- ए) = 0, उदाहरण के लिए: 2 + (- 2) = 0

गुणा करते समय आंदोलन और संयोजन कानून

एक × बी = बी × ए, उदाहरण के लिए: 2 × 3 = 3 × 2

एक × (बी × सी) = (ए × बी) × सी, उदाहरण के लिए: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4

एक × 1 = ए, उदाहरण के लिए: 2 × 1 = 2

ए × 1 / ए = 1, यदि ≠ 0; उदाहरण के लिए: 2 × 1/2 = 1

एक × 0 = 0, उदाहरण के लिए: 2 × 0 = 0

एक × बी = 0, इसका मतलब है: या ए = 0, या बी = 0, या दोनों शून्य हैं

वितरण कानून गुणा

अतिरिक्त के लिए:

(तथा +b) × s = a с + bсउदाहरण के लिए: (2 + 3) × 4 = 2 × 4 + 3 × 4

घटाव के लिए:

(तथा b) × с = ए с bсउदाहरण के लिए: (3 - 2) × 4 = 3 × 4 - 2 × 4

अपरिमेय संख्या

तर्कहीन संख्या - तर्कसंगत संख्याओं के विपरीत, ये वे हैं जिन्हें एक साधारण अंश के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

उदाहरण के लिए:

  • संख्या pi = 3,14159 ... इसे 22/7 के रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन यह केवल होगा के बारे में и निश्चित से दूर 22/7 = 3,142857 ..);
  • √2 और √99 - तर्कहीन, चूंकि वे एक अंश रिकॉर्ड करना असंभव हैं (जड़ें अक्सर तर्कहीन होती हैं, लेकिन हमेशा नहीं);
  • ई (संख्या) = 2.72 - तर्कहीन, चूंकि एक अंश रिकॉर्ड करना असंभव है;
  • गोल्ड क्रॉस सेक्शन φ = 1.618 ... - तर्कहीन, चूंकि एक अंश रिकॉर्ड करना असंभव है।

बहुत सारा अक्षम संख्या पत्र द्वारा इंगित की जाती है "मैं" .

पूर्णांक, प्राकृतिक और तर्कसंगत संख्याओं के बीच क्या अंतर है

पूर्णांक उनके विपरीत संख्याओं (शून्य से नीचे) और शून्य के विपरीत प्राकृतिक संख्याएं हैं।

उदाहरण के लिए:

सब पूर्णांक तर्कसंगत हैं संख्या (प्राकृतिक सहित), क्योंकि उन्हें एक साधारण अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है।

बहुत सारा गणित में पूर्णांक पत्र द्वारा इंगित किया जाता है Z.

पूर्णांकों

प्राकृतिक संख्या केवल 1 से शुरू होने वाले पूर्णांक हैं।

उदाहरण के लिए:

यह खाता एक प्राकृतिक तरीके से दिखाई दिया जब लोगों ने अभी भी उंगलियों पर सोचा था और संख्याओं को नहीं पता था ("मेरे पास इतनी सारी बकरियां हैं, दोनों हाथों पर कितनी उंगलियां हैं"), इसलिए शून्य प्राकृतिक संख्याओं में शामिल नहीं है।

बहुत सारा गणित में प्राकृतिक संख्या पत्र द्वारा इंगित की जाती है N.

सभी दशमलव अंश तर्कसंगत संख्याएं हैं?

दशमलव अंश दिखते हैं:

ये सामान्य अंश हैं कि denominator 10, 100, 1000, आदि के बराबर है। हमारे उदाहरण हम इस फॉर्म में लिख सकते हैं:

3,4 =। 3,4।;

2,19 =। 2,19 ;

0.561 =। 0,561.

इसका मतलब है कि कोई भी सीमित दशमलव अंश एक तर्कसंगत संख्या है।

किसी को आवधिक अंश आप एक साधारण अंश के रूप में भी जमा कर सकते हैं:

(3 दोहराता है)
(3 दोहराता है)

नतीजतन, कोई भी आवधिक अंश एक तर्कसंगत संख्या है।

लेकिन अंतहीन और गैर-आवधिक दशमलव भिन्नताओं को तर्कसंगत संख्या नहीं माना जाता है, क्योंकि उन्हें सामान्य अंश के रूप में नहीं दिखाया जा सकता है।

याद रख सकते हैं कि कैसे पालना यह है कि संख्या पी (3,14159 ...) तर्कहीन । अल्पविराम के बाद उनके पास बहुत सारे परिष्करण चिह्न हैं और सामान्य अंश के रूप में कल्पना करना असंभव है।

जड़ों - तर्कसंगत संख्या या तर्कहीन?

वर्ग और घन की जड़ों का जबरदस्त हिस्सा तर्कहीन संख्या है। लेकिन अपवाद हैं: यदि इसे एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है (एक तर्कसंगत संख्या की परिभाषा के अनुसार)। उदाहरण के लिए:

  • √2 = 1,414214 ... - तर्कहीन;
  • √3 = 1.732050 ... - तर्कहीन;
  • ∛7 = 1,912931 ... - तर्कहीन;
  • √4 = 2 - तर्कसंगत (2 = 2/1);
  • √9 = 3 - तर्कसंगत (3 = 3/1)।

तर्कसंगत संख्याओं और अंशों का इतिहास

तर्कहीन संख्याओं का सबसे पुराना उल्लेख 800 से 500 ईसा पूर्व के बीच था। इ। भारतीय सुलबा सूत्र में।

तर्कहीन संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण मेटापोंट से प्राचीन ग्रीक दार्शनिक पायथागोरियन हिप्पस से संबंधित है। उन्होंने साबित किया (सबसे अधिक संभावना ज्यामितीय रूप से) 2 के वर्ग रूट की तर्कहीनता।

किंवदंती बताती है कि मेटापोंट से हिप्पा ने तर्कहीन संख्याओं को खोला जब उन्होंने एक अंश के रूप में 2 की वर्गमूल प्रस्तुत करने की कोशिश की। हालांकि, पाइथागोरस पूर्ण संख्या में विश्वास करते थे और तर्कहीन संख्याओं के अस्तित्व को स्वीकार नहीं कर सके।

ऐसा माना जाता है कि इसके कारण, उनके बीच एक संघर्ष था, जिसने बहुत सी किंवदंतियों को जन्म दिया। बहुत से लोग कहते हैं कि यह खोज हिप्पा द्वारा मारा गया था।

गणित में बाबुलोन के रिकॉर्ड में, छह महीने की संख्या प्रणाली को देखना अक्सर संभव होता है जिसमें भिन्नताएं पहले से ही उपयोग की जा चुकी हैं। इन अभिलेखों को 4,000 साल पहले बनाया गया था, इसलिए सिस्टम थोड़ा अलग था, क्योंकि हम इसी तरह हैं।

बाद की अवधि में रहने वाले मिस्र के लोगों ने भी अंशों को लिखने का अपना तरीका था, कुछ समान: 3⁻⁻ या 5⁻⁻।

प्राकृतिक संख्याओं, संख्या पीआई, फाइबोनैकी की संख्या और प्रदर्शक के बारे में और जानें।

तर्कसंगत संख्या का निर्धारण

परिमेय संख्या - यह एक संख्या है जिसे सकारात्मक या नकारात्मक सामान्य अंश या शून्य की संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है। यदि दो पूर्णांक को विभाजित करके संख्या प्राप्त की जा सकती है, तो यह एक तर्कसंगत संख्या है।

तर्कसंगत संख्या वे हैं जिन्हें दर्शाया जा सकता है

तर्कसंगत संख्या का प्रकार

जहां संख्या एक पूर्णांक है, और denominator n एक प्राकृतिक संख्या है।

परिमेय संख्या - ये सभी प्राकृतिक, पूर्णांक, सामान्य अंश, अंतहीन आवधिक अंश और अंतिम दशमलव भिन्नताएं हैं।

कई तर्कसंगत संख्या लैटिन पत्र को चिह्नित करने के लिए यह परंपरागत है Q.

तर्कसंगत संख्याओं के उदाहरण:

  • दशमलव अंश 1.15 115/100 है;
  • दशमलव अंश 0.2 1/2 है;
  • एक पूर्णांक 0 0/1 है;
  • एक पूर्णांक 6 6/1 है;
  • एक पूर्णांक 1 1/1 है;
  • अनंत आवधिक अंश 0,33333 ... 1/3 है;
  • मिश्रित संख्या मिश्रित संख्या- यह 25/10 है;
  • नकारात्मक दशमलव अंश -3.16 -316/100 है।

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तर्कसंगत संख्याओं की गुण

तर्कसंगत संख्याओं में कुछ कानून और कई गुण होते हैं - उनमें से प्रत्येक पर विचार करें। एक, बी और सी किसी भी तर्कसंगत संख्या होने दें।

तर्कसंगत संख्याओं के साथ कार्रवाई के मुख्य गुण
  • अतिरिक्त की संपत्ति: ए + बी = बी + ए।
  • संयोजन संयोजन की संपत्ति: (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी)।
  • एक तर्कसंगत संख्या और तटस्थ तत्व (शून्य) के अतिरिक्त इस संख्या को नहीं बदलता है: ए + 0 = ए।
  • प्रत्येक तर्कसंगत संख्या में विपरीत संख्या होती है, और उनकी राशि हमेशा शून्य होती है: ए + (-ए) = 0।
  • गुणा आंदोलन: एबी = बीए।
  • गुणा की संयोजन संपत्ति: (ए * बी) * सी = ए * (बी * सी)।
  • एक तर्कसंगत संख्या का उत्पाद और कोई भी इस संख्या को नहीं बदलता है: a * 1 = a।
  • प्रत्येक अलग तर्कसंगत संख्या में एक रिवर्स संख्या है। उनका उत्पाद एक के बराबर है: ए * ए - 1 = 1।
  • अतिरिक्त के संबंध में गुणा की वितरण संपत्ति: ए * (बी + सी) = ए * बी + ए * सी।

मुख्य सूचीबद्ध के अलावा, अभी भी कई गुण हैं:

 
  1. विभिन्न संकेतों के साथ तर्कसंगत संख्याओं के गुणा का नियम: (-ए) * बी = -एबी। ऐसा वाक्यांश याद रखने में मदद करेगा: "इसके अलावा एक ऋण के लिए एक ऋण है, और एक ऋण शून्य है।"
  2. नकारात्मक तर्कसंगत संख्याओं के गुणा का नियम: (-ए) * (-बी) = एबी। वाक्यांश याद रखें: "ऋण के लिए शून्य एक प्लस है।"
  3. एक मनमानी तर्कसंगत संख्या को शून्य पर गुणा करने का नियम: ए * 0 = 0 या 0 * ए = 0. हम इस संपत्ति को साबित करते हैं। हम जानते हैं कि किसी भी तर्कसंगत डी के लिए 0 = डी + (-डी), जिसका अर्थ है * 0 = a * (d + (-d))। वितरण कानून आपको अभिव्यक्ति को फिर से लिखने की अनुमति देता है: ए * डी + ए * (-डी), और एक * (-d) = -ad के बाद से, फिर a * d + a * (-d) = a * d + ( -Ad)। यह दो विपरीत संख्याओं का योग निकला, जो परिणामस्वरूप शून्य देता है, जो समानता को * 0 = 0 साबित करता है।

हमने केवल अतिरिक्त और गुणा के गुणों को सूचीबद्ध किया। तर्कसंगत संख्याओं के सेट पर, घटाव और विभाजन को जोड़ने और गुणा का जिक्र करने के रूप में दर्ज किया जा सकता है। यही है, अंतर (ए - बी) को ए + (-बी) के योग के रूप में लिखा जा सकता है, और निजी ए / बी उत्पाद ए * बी -1 के बराबर है, बी ≠ 0 के साथ।

अपरिमेय संख्या की परिभाषा

अपरिमेय संख्या - यह एक वैध संख्या है जिसे दो पूर्णांकों को विभाजित करने के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जो कि एक तर्कसंगत अंश में है

तर्कसंगत अंश

इसे अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

अंतहीन आवधिक दशमलव अंश - यह एक ऐसा अंश है, जिनमें से दशमलव संकेत संख्याओं के समूह या एक और एक ही संख्या के रूप में दोहराए जाते हैं।

उदाहरण:

  • π = 3,1415926 ...
  • √2 = 1,41421356 ...
  • ई = 2,71828182 ...
  • √8 = 2.828427 ...
  • -111 = -3.31662 ...

तर्कहीन संख्याओं के सेट का पदनाम: लैटिन पत्र I.

वैध या वास्तविक संख्या - ये सभी तर्कसंगत और तर्कहीन संख्याएं हैं: सकारात्मक, नकारात्मक और शून्य।

तर्कहीन संख्याओं की गुण:

  • तर्कहीन संख्या और तर्कसंगत के योग का परिणाम तर्कहीन संख्या के बराबर है;
  • किसी भी तर्कसंगत संख्या (≠ 0) पर तर्कहीन संख्या के गुणा का परिणाम तर्कहीन संख्या के बराबर है;
  • दो तर्कहीन संख्याओं के घटाव का परिणाम एक तर्कहीन संख्या या तर्कसंगत के बराबर है;
  • योग या दो तर्कहीन संख्याओं के उत्पाद का परिणाम तर्कसंगत या तर्कहीन है, उदाहरण के लिए: √2 * √8 = √16 = 4)।

पूर्णांक, प्राकृतिक और तर्कसंगत संख्या के बीच का अंतर

पूर्णांकों - ये वे संख्याएं हैं जिन्हें हम कुछ विशिष्ट, मूर्त गणना करने के लिए उपयोग करते हैं: एक केले, दो नोटबुक, दस कुर्सियां।

लेकिन वास्तव में एक प्राकृतिक संख्या क्या नहीं है:

  • शून्य एक पूर्णांक है कि परिणामस्वरूप किसी भी संख्या के साथ जोड़ने या घटाने के परिणामस्वरूप एक ही संख्या होगी। शून्य पर गुणा शून्य देता है।
  • नकारात्मक संख्या: -1, -2, -3, -4।
  • Drobi: 1/2, 3/4, 5/6।

पूर्ण संख्याएं - ये उनके विपरीत प्राकृतिक संख्याएं हैं और शून्य हैं।

यदि दो संख्याएं एक दूसरे से भिन्न होती हैं - उन्हें विपरीत कहा जाता है: +2 और -2, +7 और -7। प्लस साइन आमतौर पर लिखा नहीं जाता है, और यदि संख्या से पहले कोई संकेत नहीं है, तो इसका मतलब है कि यह सकारात्मक है। "माइनस" चिह्न का सामना करने वाली संख्या को नकारात्मक कहा जाता है।

तर्कसंगत कहा जाता है कि हम पहले से ही लेख के पहले भाग से जानते हैं। फिर से दोहराओ।

परिमेय संख्या - ये सीमित अंश और अंतहीन आवधिक अंश हैं।

उदाहरण के लिए: तर्कसंगत संख्या का एक उदाहरण

किसी भी तर्कसंगत संख्या को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसमें संख्या पूर्णांक से संबंधित है, और denominator प्राकृतिक है। इसलिए, कई तर्कसंगत संख्याओं में कई पूर्णांक और प्राकृतिक संख्याएं शामिल हैं।

कई तर्कसंगत संख्या

लेकिन सभी संख्याओं को तर्कसंगत नहीं कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, अनंत गैर-आवधिक अंश तर्कसंगत संख्याओं के एक सेट से संबंधित नहीं हैं। तो √3 या π (पीआई नंबर) को तर्कसंगत संख्या नहीं कहा जा सकता है।

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तर्कसंगत संख्याएं आप पहले से ही उनसे परिचित हैं, यह केवल नियमों को सारांशित और तैयार करने के लिए बनी हुई है। तो तर्कसंगत संख्याओं को क्या संख्या कहा जाता है? इस विषय पाठ में विस्तार से विचार करें।

तर्कसंगत संख्याओं की अवधारणा।

परिभाषा: परिमेय संख्या - ये संख्याएं हैं जिन्हें अंश \ (\ frac {m} {n} \) के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां एम एक पूर्णांक है, और एन एक प्राकृतिक संख्या है।

दूसरे शब्दों में, आप कह सकते हैं:

परिमेय संख्या - ये सभी प्राकृतिक संख्याएं, पूर्णांक, सामान्य अंश, अंतहीन आवधिक अंश और परिमित दशमलव भिन्नताएं हैं।

हम प्रत्येक आइटम का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

  1. किसी भी प्राकृतिक संख्या को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, संख्या 5 = \ (\ frac {5} {1} \)।
  2. किसी भी पूर्णांक को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, संख्या 4, 0 और -2। हम 4 = \ (\ frac {4} {1} \), 0 = \ (\ frac {0} {1} \) और -2 = \ (\ frac {-2} {1} \) प्राप्त करते हैं।
  3. सामान्य अंश पहले ही तर्कसंगत रूप में दर्ज किए गए हैं, उदाहरण के लिए, \ (\ frac {6} {11} \) और \ (\ frac {9} {2} \)।
  4. अनंत आवधिक अंश, उदाहरण के लिए, 0.8 (3) = \ (\ frac {5} {6} \)।
  5. परिमित दशमलव अंश, उदाहरण के लिए, 0.5 = \ (\ frac {5} {10} = \ frac {1} {2} \)।

कई तर्कसंगत संख्या।

याद रखें कि प्राकृतिक संख्याओं के सेट को एन के लैटिन पत्र द्वारा दर्शाया गया है। पूर्णांक के विशिष्टता को लैटिन पत्र ZA द्वारा इंगित किया जाता है। तर्कसंगत संख्याओं का सेट लैटिन पत्र Q द्वारा इंगित किया गया है।

कई तर्कसंगत संख्याओं में, कई पूर्णांक और प्राकृतिक संख्याओं में तर्कसंगत संख्याओं का अर्थ शामिल है।

आकृति में आप विभिन्न तर्कसंगत संख्याओं को दिखा सकते हैं।

कई तर्कसंगत संख्या

लेकिन सभी संख्या तर्कसंगत नहीं हैं। अभी भी कई अलग-अलग संख्याएं हैं, जो भविष्य में आप अध्ययन करेंगे। प्रतिबिंबित अनियंत्रित अंश तर्कसंगत संख्याओं के सेट से संबंधित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, संख्या e, \ (\ sqrt {3} \) या संख्या \ ( \ pi \) (संख्या पीआई पढ़ा जाता है) तर्कसंगत संख्याएं हैं।

"तर्कसंगत संख्या" विषय पर प्रश्न: संख्याओं \ (\ sqrt {5}, -0 से एक तर्कसंगत संख्या क्या अभिव्यक्ति है। (3), 15, \ frac {34} {1569}, \ sqrt {6} \)? उत्तर: 5 की जड़ इस अभिव्यक्ति को पाठ्यक्रम के रूप में एक अंश या अनंत आवधिक अंश के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, इसलिए यह संख्या तर्कसंगत नहीं है। संदर्भ दशमलव आवधिक अंश -0, (3) = \ (- \ frac {3 } {10} \) को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए यह एक तर्कसंगत संख्या है। संख्या 15 को एक अंश \ (\ frac {15} {1} \) के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए यह एक तर्कसंगत है संख्या। ये \ (\ frac {34} {1569} \) एक तर्कसंगत संख्या है। एंटी -6 यह अभिव्यक्ति निश्चित रूप से एक अंश या अनंत आवधिक अंश के रूप में प्रस्तुत नहीं की जा सकती है, इसलिए यह संख्या तर्कसंगत नहीं है।

एक संख्या 1 को एक तर्कसंगत संख्या के रूप में लिखें? उत्तर: एक तर्कसंगत संख्या 1 के रूप में लिखने के लिए, इसे अंश 1 = \ (\ frac {1} {1} \) के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है।

साबित करें कि संख्या \ (\ sqrt {0.0049} \) तर्कसंगत है? साक्ष्य: \ (\ Sqrt {0,0049} = 0.07 \)

एक तर्कसंगत संख्या की जड़ के नीचे एक साधारण संख्या है? उत्तर: नहीं। उदाहरण के लिए, रूट 2, 3, 5, 7, 11, 13 के तहत कोई साधारण संख्या, रूट से बाहर नहीं निकाली गई और निश्चित रूप से अंश या अनंत आवधिक अंश के रूप में प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है, इसलिए एक नहीं है परिमेय संख्या।

तर्कसंगत संख्या का विषय काफी व्यापक है। आप इसके बारे में असीम रूप से बात कर सकते हैं और पूरे कामों को लिख सकते हैं, हर बार नए चिप्स से आश्चर्यचकित हो सकते हैं।

भविष्य में गलतियों से बचने के लिए, इस पाठ में हम तर्कसंगत संख्याओं के विषय में थोड़ा गहराई से होंगे, मैं इससे आवश्यक जानकारी खींचता हूं और आगे बढ़ता हूं।

एक तर्कसंगत संख्या क्या है

तर्कसंगत संख्या एक संख्या है जिसे एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है बी द्वारा विभाजितकहां है ए - यह एक अंश संख्या है, b- फ्राएसी के denominator। अतिरिक्त bयह शून्य नहीं होना चाहिए क्योंकि विभाजन की अनुमति नहीं है।

संख्याओं की निम्नलिखित श्रेणियों में तर्कसंगत संख्याएं शामिल हैं:

  • पूर्णांक (उदाहरण के लिए -2, -1, 0 1, 2, आदि)
  • साधारण अंश (उदाहरण के लिए) आधाएक तिहाईतीन चौथाईआदि।)
  • मिश्रित संख्या (उदाहरण के लिए) दो पूर्णांक एक सेकंडएक पूरे दो तीसरेशून्य दो पूर्णांक एक तिहाईआदि।)
  • दशमलव अंश (उदाहरण के लिए 0.2, आदि)
  • अनंत आवधिक अंश (उदाहरण के लिए 0, (3), आदि)

इस श्रेणी की प्रत्येक संख्या को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है बी द्वारा विभाजित .

उदाहरण:

उदाहरण 1। एक पूर्णांक 2 को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है पहले दो। तो संख्या 2 न केवल पूर्णांक संख्याओं को संदर्भित करता है, बल्कि तर्कसंगत भी है।

उदाहरण 2। मिश्रित संख्या दो पूर्णांक एक सेकंडएक अंश के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है पांच सेकंड। यह अंश गलत अंश के लिए मिश्रित संख्या के हस्तांतरण द्वारा प्राप्त किया जाता है

गलत अंश के लिए दो पूर्णांक का अनुवाद

इतना मिश्रित संख्या दो पूर्णांक एक सेकंडतर्कसंगत संख्याओं को संदर्भित करता है।

उदाहरण 3। दशमलव अंश 0,2 को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है दो दसवें। यह अंश एक सामान्य अंश के लिए दशमलव अंश 0.2 के हस्तांतरण से निकला। यदि आपको इस समय कठिनाई हो रही है, तो दशमलव अंशों के विषय को दोहराएं।

चूंकि दशमलव अंश 0.2 को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है दो दसवेंइसका मतलब है कि यह तर्कसंगत संख्याओं को भी संदर्भित करता है।

उदाहरण 4। अनंत आवधिक अंश 0, (3) को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है तीन नौवें। यह अंश एक सामान्य अंश में एक साफ आवधिक अंश स्थानांतरित करके प्राप्त किया जाता है। यदि आपको इस समय कठिनाई हो रही है, तो आवधिक अंशों के विषय को दोहराएं।

चूंकि अंतहीन आवधिक अंश 0, (3) को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है तीन नौवेंइसका मतलब है कि यह तर्कसंगत संख्याओं को भी संदर्भित करता है।

भविष्य में, सभी संख्याओं को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, हम तेजी से एक वाक्यांश में बुलाए जाएंगे - परिमेय संख्या .

समन्वय प्रत्यक्ष पर तर्कसंगत संख्या

समन्वय प्रत्यक्ष हमने माना जाता है जब नकारात्मक संख्याओं का अध्ययन किया गया था। याद रखें कि यह एक सीधी रेखा है जिस पर कई संख्याएं हैं। निम्नलिखित नुसार:

निर्देशांक प्रत्यक्ष चित्र 1

यह आंकड़ा -5 से 5 तक निर्देशांक का एक छोटा टुकड़ा दिखाता है।

प्रजाति 2, 0, -3 के समन्वय प्रत्यक्ष पूर्णांक पर चिह्नित करना मुश्किल नहीं है।

शेष संख्याओं के साथ यह अधिक दिलचस्प चीजें हैं: सामान्य अंशों, मिश्रित संख्या, दशमलव अंशों आदि के साथ। ये संख्या पूर्णांक के बीच स्थित हैं और ये संख्याएं असीम रूप से बहुत हैं।

उदाहरण के लिए, हम समन्वय प्रत्यक्ष तर्कसंगत संख्या पर ध्यान देते हैं आधा। यह संख्या बिल्कुल शून्य और इकाई के बीच स्थित है

समन्वय प्रत्यक्ष पर एक सेकंड

आइए समझने की कोशिश करें कि क्यों अंश आधाशून्य और इकाई के बीच अचानक बस गया।

जैसा ऊपर बताया गया है, पूर्णांक के बीच अन्य संख्याएं हैं - सामान्य अंश, दशमलव अंश, मिश्रित संख्याएं आदि। उदाहरण के लिए, यदि आप 0 से 1 तक समन्वय रेखा में अनुभाग को बढ़ाते हैं, तो आप निम्न चित्र देख सकते हैं

सीधे शून्य से एक समन्वय

यह देखा जा सकता है कि पूर्णांक 0 और 1 के बीच पहले से ही अन्य तर्कसंगत संख्याएं हैं, जो हमारे लिए दशमलव भिन्नताओं से परिचित हैं। हमारा अंश यहां दिखाई दे रहा है आधाजो वहां स्थित है, जहां दशमलव अंश 0.5 है। इस तस्वीर का चौकस विचार जवाब देने के सवाल का जवाब देता है आधायह वहां स्थित है।

अंश आधामतलब 1 से 2. विभाजित है और यदि 1 से 2 विभाजित है, तो हमें 0.5 मिलते हैं

इकाई दो पाँचवीं में विभाजित है

दशमलव अंश 0.5 को मुखौटा और अन्य भिन्नताओं के तहत किया जा सकता है। अंश की मुख्य संपत्ति से, हम जानते हैं कि यदि फ्रैसी के संख्यात्मक और denomoter गुणा या एक ही संख्या में विभाजित हो जाते हैं, तो अंश मूल्य नहीं बदलेगा।

यदि संख्यात्मक और denominator आधाकिसी भी संख्या से गुणा करें, उदाहरण के लिए, संख्या 4 से, तो हमें एक नया अंश मिलेगा चार आठवें, और इस अंश के साथ-साथ आधा0.5 के बराबर

चार आठ के बराबर शून्य के बराबर पांच दसवें तक विभाजित

और इसलिए समन्वय शॉट पर चार आठवेंउसी स्थान पर स्थित हो सकता है जहां अंश स्थित था आधा

समन्वय प्रत्यक्ष पर चार आठवां

उदाहरण 2। आइए समन्वय तर्कसंगत संख्या पर ध्यान दें तीन सेकंड। यह संख्या बिल्कुल संख्या 1 और 2 के बीच स्थित है

समन्वय प्रत्यक्ष पर तीन सेकंड

फ्रैसी का मूल्य तीन सेकंडबराबर 1.5

तीन में विभाजित तीन एक पूरे पांच दसवें होंगे

यदि आप निर्देशांक के क्षेत्र को 1 से 2 तक सीधे बढ़ाते हैं, तो हम निम्नलिखित तस्वीर देखेंगे:

एक से दो तक निर्देशांक

यह देखा जा सकता है कि पूर्णांक 1 और 2 के बीच पहले से ही अन्य तर्कसंगत संख्याएं हैं, जो हमारे लिए दशमलव भिन्नताओं से परिचित हैं। हमारा अंश यहां दिखाई दे रहा है तीन सेकंडजो वहां स्थित है, जहां दशमलव अंश 1.5।

हमने इस सेगमेंट पर झूठ बोलने वाले अन्य संख्याओं को देखने के लिए निर्देशांक पर कुछ हिस्सों में वृद्धि की। नतीजतन, हमें दशमलव भिन्नताएं मिलीं जिनके पास अल्पविराम के बाद एक अंक था।

लेकिन ये इन खंडों पर झूठ बोलने वाली एकमात्र संख्या नहीं थीं। समन्वय प्रत्यक्ष पर झूठ बोलने वाली संख्या असीम रूप से बहुत कुछ है।

यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि दशमलव अंश वाले दशमलव अंशों के बीच पहले से ही अन्य दशमलव भिन्नताएं हैं, जिसमें अल्पविराम के बाद दो अंक हैं। दूसरे शब्दों में, सेगमेंट के सौवें हिस्से।

उदाहरण के लिए, आइए उन नंबरों को देखने की कोशिश करें जो 0.1 और 0.2 दशमलव अंशों के बीच झूठ बोलते हैं

सीधे शून्य से एक दसवें से दो दसवें तक समन्वय

एक और उदाहरण। दशमलव अंशों में अल्पविराम के बाद दो अंक होते हैं और शून्य के बीच झूठ बोलते हैं और 0.1 की तर्कसंगत संख्या इस तरह दिखती हैं:

सीधे शून्य से शून्य से शून्य तक समन्वय

उदाहरण 3। समन्वय प्रत्यक्ष तर्कसंगत संख्या पर ध्यान दें एक पचास। यह तर्कसंगत संख्या शून्य के बहुत करीब होगी

समन्वय प्रत्यक्ष पर एक पचासवीं

फ्रैसी का मूल्य एक पचासबराबर 0.02

पचास द्वारा अलग की गई इकाई शून्य के बराबर बराबर होती है

यदि हम सेगमेंट को 0 से 0.1 तक बढ़ाते हैं, तो हम देखेंगे कि तर्कसंगत संख्या सटीक है। एक पचास

एक समन्वय पर एक समन्वय पर 0 से 0.1 तक

यह देखा जा सकता है कि हमारे तर्कसंगत संख्या एक पचासयह वहां स्थित है, जहां और दशमलव अंश 0.02 है।

उदाहरण 4। समन्वय प्रत्यक्ष तर्कसंगत संख्या 0 पर ध्यान दें, (3)

तर्कसंगत संख्या 0, (3) एक अनंत आवधिक अंश है। उसका आंशिक हिस्सा कभी समाप्त नहीं होता, वह अनंत है

0,33333 .... और तो अनंत पर ..

और चूंकि संख्या 0 में, (3) फ्रैक्शनल पार्ट अनंत है, इसका मतलब है कि हम समन्वय प्रत्यक्ष पर सही स्थान नहीं ढूंढ पाएंगे, जहां यह संख्या स्थित है। हम केवल इस जगह को लगभग निर्दिष्ट कर सकते हैं।

तर्कसंगत संख्या 0.33333 है ... सामान्य दशमलव अंश 0.3 के बहुत करीब होगा

समन्वय प्रत्यक्ष पर अवधि में शून्य और तीन

यह चित्र संख्या 0, (3) का सही स्थान नहीं दिखाता है। यह केवल एक उदाहरण है जो दिखाता है कि आवधिक अंश 0, (3) को पारंपरिक दशमलव अंश 0.3 के करीब कैसे रखा जा सकता है।

उदाहरण 5। समन्वय प्रत्यक्ष तर्कसंगत संख्या पर ध्यान दें दो पूर्णांक एक सेकंड। यह तर्कसंगत संख्या 2 और 3 के बीच मध्य में स्थित होगी

समन्वय प्रत्यक्ष पर दो और एक सेकंड

दो पूर्णांक एक सेकंडयह 2 (दो पूर्णांक) और है आधा(आधा)। अंश आधाअलग-अलग "आधा" भी कहा जाता है। इसलिए, हमने समन्वय प्रत्यक्ष दो पूरे खंडों और सेगमेंट के आधे हिस्से पर ध्यान दिया।

यदि आप एक मिश्रित संख्या का अनुवाद करते हैं दो पूर्णांक एक सेकंडगलत अंश में, फिर हमें एक साधारण अंश मिलता है पांच सेकंड। समन्वय प्रत्यक्ष पर यह अंश वहां स्थित होगा, जहां और अंश दो पूर्णांक एक सेकंड

समन्वय प्रत्यक्ष पर पांच सेकंड

फ्रैसी का मूल्य पांच सेकंडसमान रूप से 2.5

पांच में विभाजित पांच एक पूरे पांच दसवें होंगे

यदि आप 2 से 3 तक समन्वय सीधी रेखा के क्षेत्र को बढ़ाते हैं, तो हम निम्नलिखित तस्वीर देखेंगे:

समन्वय पर पांच सेकंड पर दो से तीन तक

यह देखा जा सकता है कि हमारे तर्कसंगत संख्या पांच सेकंडवहां स्थित, जहां और दशमलव अंश 2.5

एक तर्कसंगत संख्या से पहले माइनस

पिछले पाठ में, जिसे पूर्णांक के गुणात्मक और विभाजन कहा जाता था, हमने पूर्णांक साझा करना सीखा। एक विभाजन और विभाजक की भूमिका सकारात्मक और नकारात्मक संख्या दोनों खड़ी हो सकती है।

सबसे सरल अभिव्यक्ति पर विचार करें

(-6): 2 = -3

इस अभिव्यक्ति में, विभाजित (-6) एक नकारात्मक संख्या है।

अब दूसरी अभिव्यक्ति पर विचार करें

6: (-2) = -3

यहां, एक नकारात्मक संख्या एक विभाजक (-2) है। लेकिन दोनों मामलों में हमें एक ही उत्तर मिलता है -3।

यह मानते हुए कि किसी भी विभाजन को अंश के रूप में लिखा जा सकता है, हम एक अंश के रूप में लिखे गए उदाहरणों की भी समीक्षा कर सकते हैं:

शून्य छह दो बराबर शून्य से विभाजित

छह माइनस में विभाजित दो बराबर शून्य तीन

और चूंकि दोनों मामलों में अंश मूल्य समान है, तो अंकनकर्ता में या तो एक संख्या में खड़े होकर एक सामान्य के साथ बनाया जा सकता है, इसे अंश से पहले रख सकता है

शून्य छह दो या शून्य में विभाजित छह सेकंड के बराबर तीन सेकंड

छह शून्य से दो या शून्य से विभाजित छह सेकंड के बराबर तीन सेकंड

इसलिए, अभिव्यक्तियों के बीच माइनस छह दो में विभाजित    и छह से दो में विभाजित    и  शून्य छह सेकंडआप समानता का संकेत डाल सकते हैं क्योंकि वे समान अर्थ लेते हैं

शून्य छह दो बराबर छह में विभाजित दो बराबर से दो बराबर छह सेकंड के बराबर

भविष्य में, अंशों के साथ काम करना यदि शून्य से एक संख्यात्मक या संप्रदाय में हमसे मिलेंगे, तो हम इसे कमजोर बनाने के लिए इसे कम कर देंगे।

विपरीत तर्कसंगत संख्या

साथ ही एक पूर्णांक, तर्कसंगत संख्या में इसके विपरीत संख्या है।

उदाहरण के लिए, एक तर्कसंगत संख्या के लिए आधाविपरीत संख्या है शून्य एक सेकंड। यह समन्वय प्रत्यक्ष सममित स्थान पर स्थित है। आधानिर्देशांक की शुरुआत के सापेक्ष। दूसरे शब्दों में, इन दोनों संख्या निर्देशांक की शुरुआत से समतुल्य हैं।

एक सेकंड और एक दूसरे को समन्वय प्रत्यक्ष पर

गलत अंशों में मिश्रित संख्याओं का अनुवाद

हम जानते हैं कि गलत अंश में मिश्रित संख्या का अनुवाद करने के लिए, आपको आंशिक भाग के संप्रदाय को गुणा करने और आंशिक भाग में जोड़ने की आवश्यकता है। परिणामी संख्या नए अंश का अंक होगा, और denominator एक ही बनी हुई है ..

उदाहरण के लिए, हम मिश्रित संख्या का अनुवाद करते हैं दो पूर्णांक एक सेकंडगलत शॉट में

एक पूरे हिस्से को आंशिक भाग के संप्रदाय से गुणा करें और एक आंशिक भाग संख्या जोड़ें:

(2 × 2) + 1

इस अभिव्यक्ति की गणना करें:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

परिणामी संख्या 5 एक नए अंश का अंक होगा, और denominator वही रहेगा:

पांच सेकंड

पूरी तरह से दी गई प्रक्रिया निम्नानुसार लिखी गई है:

गलत अंश के लिए दो पूर्णांक का अनुवाद

मूल मिश्रित संख्या को वापस करने के लिए, यह पूरे हिस्से को अंश में हाइलाइट करने के लिए पर्याप्त है पांच सेकंड

पांच सेकंड अंश में पूरे हिस्से का आवंटन

लेकिन मिश्रित संख्या में गलत अंश में अनुवाद करने की यह विधि केवल तभी लागू होती है जब मिश्रित संख्या सकारात्मक है। एक नकारात्मक संख्या के लिए, यह विधि काम नहीं करेगी।

एक अंश पर विचार करें शून्य पांच सेकंड। हम इस अंश में एक पूरे हिस्से में हाइलाइट करते हैं। प्राप्त करें माइनस दो पूर्णांक एक सेकंड

कुचल माइनस में पूरे हिस्से का आवंटन पांच सेकंड में

प्रारंभिक अंश को वापस करने के लिए शून्य पांच सेकंडएक मिश्रित संख्या का अनुवाद करने की आवश्यकता है माइनस दो पूर्णांक एक सेकंडगलत अंश में। लेकिन अगर हम पुराने नियम का उपयोग करते हैं, अर्थात्, हम आंशिक भाग के संप्रदाय पर पूर्णांक गुणा करेंगे और परिणामी संख्या में आंशिक भाग की संख्या जोड़ देंगे, हम निम्नलिखित विरोधाभास प्राप्त करेंगे:

अनुवाद माइनस दो पूर्णांक एक सेकंड गलत अंश के लिए

हमें एक अंश मिला माइनस तीन सेकंड, और एक अंश प्राप्त करना था शून्य पांच सेकंड .

हम उस मिश्रित संख्या का समापन करते हैं माइनस दो पूर्णांक एक सेकंडगलत अंश में गलत तरीके से अनुवादित:

माइनस दो पूर्णांक एक सेकंड

गलत अंश में एक नकारात्मक मिश्रित संख्या का सही ढंग से अनुवाद करने के लिए, आपको आंशिक भाग के संप्रदाय, और परिणामी संख्या से गुणा करने की आवश्यकता है घटाना Sliver fractional भाग। इस मामले में, हम सभी जगह में आ जाएंगे

गलत अंश के लिए दो पूर्णांक के शून्य का सही अनुवाद

नकारात्मक मिश्रित संख्या माइनस दो पूर्णांक एक सेकंडएक मिश्रित संख्या के विपरीत है दो पूर्णांक एक सेकंड। यदि एक सकारात्मक मिश्रित संख्या दो पूर्णांक एक सेकंडदाईं ओर स्थित है और जैसा दिखता है

समन्वय प्रत्यक्ष पर दो और एक सेकंड

फिर नकारात्मक मिश्रित संख्या माइनस दो पूर्णांक एक सेकंडसममित रूप से बाईं ओर स्थित होगा दो पूर्णांक एक सेकंडनिर्देशांक की सापेक्ष शुरुआत

माइनस दो पूर्णांक एक दूसरे और दो पूरे और एक दूसरे को समन्वय प्रत्यक्ष पर

और अगर दो पूर्णांक एक सेकंड"दो पूरे और एक सेकंड" के रूप में पढ़ें, फिर माइनस दो पूर्णांक एक सेकंडके रूप में पढ़ना "माइनस दो पूरे और एक सेकंड एक सेकंड" । संख्या -2 और शून्य एक सेकंडसमन्वय प्रत्यक्ष के बाईं ओर बंद - वे दोनों नकारात्मक हैं।

किसी भी मिश्रित संख्या को तैनाती में लिखा जा सकता है। सकारात्मक मिश्रित संख्या दो पूर्णांक एक सेकंडतैनाती में, के रूप में लिखा दो प्लस एक सेकंड.

एक नकारात्मक मिश्रित संख्या माइनस दो पूर्णांक एक सेकंडके रूप में दर्ज किया गया माइनस दो पूरे शून्य एक सेकंड

अब हम समझ सकते हैं कि एक मिश्रित संख्या क्यों माइनस दो पूर्णांक एक सेकंडयह समन्वय के बाईं ओर स्थित है। दो से पहले माइनस इंगित करता है कि हम शून्य से दो चरणों के लिए चले गए, नतीजतन, उस बिंदु पर हो गया जहां संख्या -2 है

समन्वय प्रत्यक्ष पर दो माइनस

फिर, संख्या -2 से शुरू, वे बाईं ओर चले गए शून्य एक सेकंडकदम। और मूल्य के बाद से शून्य एक सेकंडसमान रूप से -0.5, फिर हमारा कदम पूर्ण कदम से आधा होगा।

समन्वय प्रत्यक्ष पर दो और शून्य एक सेकंड

नतीजतन, हम मुझे संख्या -3 और -2 के बीच बीच में पाएंगे

समन्वय प्रत्यक्ष पर शून्य दो पूर्णांक और शून्य एक सेकंड

उदाहरण 2। गलत अंश में आवंटित करें माइनस बीस सात पांचवेंपूरे भाग, फिर परिणामी मिश्रित संख्या वापस गलत अंश में स्थानांतरित करने के लिए

हम कार्य के पहले भाग को निष्पादित करेंगे, अर्थात्, हम गलत अंश में आवंटित करेंगे माइनस बीस सात पांचवेंपूरे भाग

कुचल माइनस पच्चीस पांचवें में पूरे हिस्से का आवंटन

हम कार्य के दूसरे भाग को निष्पादित करेंगे, अर्थात् मैं परिणामी मिश्रित संख्या का अनुवाद करता हूं शून्य पांच पूरे दो पांचवेंगलत अंश में। इसके लिए, पूरे हिस्से को आंशिक भाग के संप्रदाय से गुणा करें और परिणामी संख्या से, आंशिक भाग संख्या घटा दी जाएगी:

गलत अंश में पाँच पूर्णांक दो पांचवें स्थानान्तरण

यदि उलझन में होने और नए नियम में उपयोग करने की कोई इच्छा नहीं है, तो आप ब्रैकेट में मिश्रित संख्या बना सकते हैं, और ब्रैकेट के पीछे ऋण छोड़ सकते हैं। फिर एक पुराना नियम लागू करना संभव होगा: एक पूरे हिस्से को आंशिक भाग के संप्रदाय से गुणा करें और परिणामी संख्या में एक अंशकालिक संख्या जोड़ने के लिए।

पिछले कार्य को इस तरह से करें, अर्थात् मैं मिश्रित संख्या का अनुवाद करता हूं शून्य पांच पूरे दो पांचवेंगलत शॉट में

अनुवाद शून्य से पांच पूर्णांक दो पांचवें हिस्से को ब्रैकेट के साथ समाधान

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