Рациональные числа ℹ️ в математике, определение, свойства, действия над ними, примеры, как доказать что число рациональное

Рациональные числа что такое

Рациональные числа можно обсуждать до бесконечности, находя новые фишки и допуская ошибки в понимании.

Во избежание проблем с такими числами стоит рассмотреть подробнее некоторые сведения о них. Это поможет усвоить материал и обеспечить необходимые познания в математике.

Что представляют собой

Для начала следует понимать, какие числа называются рациональными. Таковыми считаются дроби в виде числителя и знаменателя. Причем последний не должен быть равен нулю, поскольку деление на такое число считается недопустимым.

Рациональными могут обозначаться такие категории чисел:

Какие числа называются рациональными
  1. Целые числа, будь то положительные или отрицательные.
  2. Математические дробные выражения разных типов.
  3. Комбинация обыкновенных и дробных.
  4. Десятичные дроби.
  5. Бесконечные периодические дроби.

Все группы обозначенных выражений представляют в виде дроби a/b. Например, число 2 можно представить и в виде дроби 2/1, что позволяет отнести его как к целым, так и рациональным.

Аналогично в виде дробей можно представить смешанные и бесконечные периодические дроби. Потому для подобных выражений принято обозначение рациональные числа.

На координатной прямой

Ранее при изучении отрицательных чисел на школьных уроках вводилось понятие о координатной прямой. На такой линии лежат множество точек. Особенно трудно решать поиск дробей и смешанных показателей, так как они лежат между целыми в бесконечном количестве:

Рациональное число примеры
  • Например, дробь 0,5 располагается между нулем и единицей. Если увеличить интервал такой прямой, то легко увидеть дробные от 0,1 до 0,9, в середине же стоит ½. Аналогичным способом можно замаскировать и математические дроби вида 3/6, 4/8 и так далее.
  • Что касается дроби 3/2, то она расположена на арифметической линии между единицей и двойкой. Между ними в большом количестве располагаются десятичные дроби, в том числе искомая. Увеличение определенных отрезков дает представление о том, что еще лежит на координатной прямой между целыми. В результате появлялись выражения, имеющие после запятой один знак. И таких значений великое множество, в том числе между дробными.
  • А вот отыскать реальное место бесконечной периодической дроби можно лишь приблизительно, так как она идет до бесконечности. Можно найти много иллюстраций того, насколько близко может располагаться дробь в реальном выражении.

Потому при рассмотрении того, что значит рациональное число на координатных прямых, важно знать его вид и можно ли преобразовать в другое. Нередко требуется отыскать отдельное свойство или проиллюстрировать задачу с помощью конкретных отрезков.

Если стоит минус

Когда школьники проходили тему умножения и деления, то им стало известно: в роли делителей и делимых могут выступать как отрицательные, так и положительные выражения.

Что такое рациональные числа в математике

Так, вариации 6:-2=-3 и -6:2=-3 имеют одинаковый результат, хотя знак минус имеют разные части.

Так как каждое деление можно представить в виде дроби, то минус ставится в числителе или в знаменателе. Либо сделать его общим.

Между всеми тремя вариациями можно поставить знак равенства, так как их результатом является одно и то же число.

Каждый из рациональных показателей имеет противоположное.

Например, для дроби ½ таковым является -½ и ее вариации. Оба равноудалены по отношению к началу координат и располагаются посередине.

Перевод в дроби

Перевод смешанного выражения в неправильную дробь осуществляется с помощью умножения на знаменатель дробную часть и прибавить к числителю. Получившееся станет числителем новой дроби при прежнем знаменателе.

Рассматривать алгоритм можно на следующем простом примере:

Множество рациональных чисел
  • Имеется 2,5, которое следует перевести в неправильную дробь.
  • Целый показатель нужно умножить на знаменатель дробной части и прибавить числитель этой же части.
  • Полученное значение можно вычесть как (2*2)+1=4+1=5.
  • 5 станет числителем, а знаменатель будет прежним и получится 5/2.
  • Вернуть начальное смешанное можно выделением целой части.

Однако такой способ не подойдет для отрицательного значения. Если воспользоваться прежним правилом и выделить целую часть, то можно получить противоречие вида: (-2*2)+½=-3/2, хотя требовалось получить -5/2.

Поэтому следует определить другой метод. Целая часть умножается на знаменатель дробной части. Из полученного значения вычитается числитель дробной части. И тогда получается правильный ответ.

Благодаря координатной прямой можно понять, почему смешанное -2,5 расположилось в левой части. Минус указывает на смещение влево в количестве двух шагов. Попадание произошло в точке -2. После чего сдвиг еще на полшага и середина между -3 и -2.

Сравнение чисел между собой

Из предыдущих уроков легко доказать, что чем правее расположено значение, тем оно больше. И наоборот, более левое положение говорит о том, что рассматриваемое значение меньше другого показателя.

Значение какого выражения является рациональным числом

Для подобных случаев, когда сравнение чисел достигается просто, имеется такое правило: из 2 чисел с положительными знаками большим является то, у которого больше модуль. А для отрицательных большим является такое, чей модуль меньше. Например, есть числа -4 и -2. При сравнении модулей между собой можно сказать, что -4 меньше -2.

При этом новички нередко допускают следующую ошибку: путают между собой модуль и непосредственно число. Ведь модуль -3 и модуль -1 не обозначает, что -3 больше -1, а наоборот. Это можно понять из координатной прямой, где первое стоит левее второго. Если требуется сравнивать значения, то важно обращать внимание на знаки. Минус говорит об отрицательности выражения и наоборот.

Некоторые примеры

Несколько сложнее относиться к смешанным числами, извлечению корня, дробным значениям. Понадобится изменить правила, поскольку изобразить их на координатной прямой не всегда представляется возможным. В связи с этим требуется сравнить их иными способами, нежели в школе:

Что значит рациональное число
  1. Например, имеются два отрицательных значения, а именно -3/5 и -7/3.
  2. Сначала находятся модули в виде 3/5 и 7/3, которые являются положительными.
  3. Потом каждый приводится к общему знаменателю, которым выступает 15.
  4. Исходя из правила для отрицательных значений, рациональное -3/5 больше -7/3, так как его модуль меньше.

Проще сравнивать модули целых частей, поскольку можно быстро ответить на поставленный вопрос. Известно, что целые части более важны по сравнению с дробями. Если отметить числа 15,4 и 2,1212, то целая часть первого числа больше второго, а значит и дробь.

Несколько сложнее обстоит дело с примером, где имеются значения -3,4 и -3,7. Модули целых чисел одинаковы, потому придется сравнивать еще и для рациональных значений. Тогда получается, что -3,4 больше -3,7, так как его модуль меньше.

При сравнении простой и периодической дроби последнюю следует перевести в стандартную. Так, 0,(3) становится 3/9. Сравнивая, переводят дроби к общему знаменателю 0,(3) и 4/8, получается 24/72 и 36/72. Естественно, что 24/72 < 36/72. То есть, модуль 4/8 больше модуля 0,(3), значит и оно само считается большим.

Рациональные числа являются обширной темой. Их изучение считается довольно сложным, требуя учесть немало нюансов и объяснений основных моментов, действий с арифметическими числами и так далее. Несмотря на кажущуюся простоту, программа определения того, какие числа являются рациональными и сравнения оных составляется с учетом наличия дробных частей, знаков после запятой и перед выражением.

От этого зависит поиск правильного ответа и решение общей задачи, включая поиски процентов и объемов.

Рациональные показатели могут относиться к помощникам в деле перехода к сложным разделам в данном курсе математики и дают представление о натуральных и десятичных числовых выражений в целом и в частности о необычных случаях.

Все слышали о рациональных числах, но не все понимаю, что они из себя представляют. На самом деле все просто.

источник: Яндекс
источник: Яндекс

Рациональное число – это результат деления двух целых чисел. Например, число 2 – результат деления 4 и 2, а число 0,2 – это 2 поделенное на 10. Любое рациональное число мы можем представить для себя в виде дроби m/n, где m является целым числом, n – натуральным числом.

Как выглядят рациональные числа? Это могут быть:

  • Дроби (1/2, 5/10)
  • Целые числа (1, 2, 5)
  • Смешанные числа
  • Десятичные дроби (0,14, 4,1)
  • Бесконечные периодические дроби (например, при делении 10 на 3, мы получим 3,33333…)

Q – обозначение множества рациональных чисел.

Реклама
Реклама
Не каждый студент может себе позволить за семестр в ВУЗе отдать100 000 ₽. Но круто, что естьгрантына учебу.Грант-на-вуз.рфэтовозможность учиться на желанной специальности.По ссылкекаждый получит бонус от300 ₽до100 000 ₽грант-на-вуз.рф

Свойства рациональных чисел

  • Каждое натуральное число является рациональным.
  • Каждое целое число является рациональным.
  • Рациональные числа следуют правилу сочетательного и переместительного свойства. То есть от перемены мест слагаемых значение суммы не измениться.

a+b=b+a

(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=a

a+(-a)=0

Примеры:

2+3=5 и 3+2=5, значит 2+3=3+2.

14+(1+4)=19 и (14+1)+4=19, значит 14+(1+4)=(14+1)+4

  • Также эти законы сохраняются при умножении.

a × b = b × a

a × (b × c) = (a × b) × c

а × 1 = а

а × 1/a = 1

а × 0 = 0

а × b = 0

Примеры:

3х4=12 и 4х3=12, значит 3х4=4х3

5х(2х3)=30 и (5х2)х3=30, значит 5х(2х3)= (5х2)х3

  • Для рациональных чисел будет справедлив и распределительный закон умножения.

(а + b) × с = ас + bс

(а – b) × с = ас – bс

Примеры:

(4+7)х5=55 и 4х5+7х5=55, значит (4+7)х5=4х5+7х5

Иррациональные числа и корни

Для того, чтобы лучше понять что из себя представляют рациональные числа, следует знать какие числа ими не являются. А точнее, какие числа будут иррациональными. Такие числа невозможно записать в виде простой дроби:

  • Число ПИ, которое равно примерно 3,14. Его можно представить в виде дроби, но это значение будет только примерное.
  • Некоторые корни. Например, корень из 2 или из 99 нельзя записать в виде дроби
  • Золотое сечение, которое примерно равно 1,61. Тут ситуация обстоит так же, как и с числом ПИ.
  • Число Эйлера, которое приблизительно равно 2,718, тоже не является рациональным.
Реклама
Реклама
Напоминаем про сервисгрант-на-вуз.рф. Не упусти свой шанс изучать то, что тебе нравится. Ну или просто сэкономить на учебе. Ты точно получишьот300 ₽до100 000 ₽,перейдя по ссылкегрант-на-вуз.рф!

Большинство иррациональных чисел встречается среди корней, но далеко не все корни иррациональные. Например, корнем из числа 4 является число 2, а его можно представить в виде дроби. То есть корень из числа 4 – рациональное число.

Спасибо, что прочитали статью. Не забывайте про подписку на канал, а также рекомендую почитать канал наших друзей:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac— последние научные достижения и лучшие образовательные практики.
Хорошего дня и не болейте.

Что такое рациональные числа

14 января 2021

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы вновь поговорим о математических терминах.

И на этот раз расскажем все о РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ. Они обязательно входят в школьную программу, и дети начинают изучать их в 6 классе.

Само слово «рациональный» знакомо многим. И под ним подразумевается нечто «логичное» и «правильное». На деле так и есть.

Рациональные числа — это ...

Термин имеет латинские корни, и в переводе «ratio» означает «число», «расчет», «разум», «рассуждение» и «нумерация». Но есть и другие переводы – «дробь» и «деление».

РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО – любое число, которое можно показать в виде дроби a/b. Здесь а – целое число, а b – натуральное.

Стоит напомнить, что:

  1. Целые числа – это все возможные числа, как отрицательные, так и положительные. И к ним же относится ноль. Главное условие – они не должны быть дробными. То есть -15, 0 и +256 можно назвать целыми числами, а 2,5 или -3,78 – нет.
  2. Натуральные числа – это числа, которые используются при счете, то есть они имеют «натуральное происхождение». Это ряд из 1, 2, 3, 4, 5 и так далее до бесконечности. А вот ноль и отрицательные числа, как и дробные – к натуральным не относятся.

И если применить эти определения, то мы можем сказать, что:

РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО – это вообще все возможные числа, кроме бесконечных непериодических десятичных дробей. Среди них натуральные и целые числа, обыкновенные и конечные десятичные дроби, а также бесконечные периодические дроби.

Схема

История изучения рациональных чисел

Точно неизвестно, когда люди начали изучать дроби. Есть мнение, что много тысяч лет назад. И началось все с банального дележа. Например, кому-то нужно было разделить добычу, но на равные части это не получалось сделать. Зато получалось сколько-то целых, и сколько-то в довесок.

Скорее всего, дроби изучали и в Древнем Египте, и в Древней Греции. Тогдашние математики далеко продвинулись в науке. И трудно предположить, что эта тема осталась ими не изучена. Хотя, к сожалению, ни в одних трудах так и не было найдено конкретных указаний на рациональные числа.

Математик

А вот официально считается, что понятие десятичной дроби появилось в Европе в 1585 году. Этот математический термин в своих трудах увековечил голландский инженер и математик Симон Стевин.

До занятия наукой, он был обыкновенным купцом. И скорее всего, именно в торговых делах часто сталкивался с дробными числами. Что потом и описал в своей книге «Десятая».

В ней Стевин не только объяснял полезность десятичных дробей, но и всячески пропагандировал их использование. Например, в системе мер для точного определения величины чего-либо.

Разновидности рациональных чисел

Мы уже написали, что под понятия рациональные числа подпадают практически все возможные варианты. Теперь рассмотрим более подробно существующие варианты:

  1. Натуральные числа. Любое число с 1 и до бесконечности можно представить в виде дроби. Достаточно вспомнить простое математическое правило. Если поделить число на единицу, то получится то же самое число. Например, 5 = 5/1, 27 = 27/1, 136 = 136/1 и так далее.
  2. Целые числа. Точно такая же логика, как в случае с натуральными числами, действует и тут. Отрицательные числа также можно представить в виде дроби с делением на единицу. И точно также будет в отношении нуля. Например, -356 = -356/1, -3 = -3/1, 0 = 0/1 и так далее.
  3. Обыкновенные дроби. Это напрямую говорится в определении рациональных чисел. Например, 6/11, 2/5, -3/10 и так далее.
  4. Бесконечные периодические дроби. Это числа, у которых после запятой бесконечное множество знаков и их последовательность повторяется. Самые простые примеры 1/3, 5/6 и так далее.
  5. Конечные десятичные дроби. Это числа, которые можно записать двумя разными вариантами, и у которых вполне конкретное количество знаков после запятой. Самый простой пример – половина. Ее можно обозначить дробью 0,5 или дробью ½.

Все числа, которые входят в понятие рациональных, называются МНОЖЕСТВОМ рациональных чисел. В математике его принято обозначать латинской буквой Q.

А графически это можно изобразить вот так:

Числа

Свойства рациональных чисел

Рациональные числа подчиняются всем главным законам математики:

  1. А + В = В + А
  2. А + (В + С) = (А + В) + С
  3. А + 0 = А
  4. А + (-А) = 0
  5. А * В = В * А
  6. А * 1 = А
  7. А * 0 = 0
  8. (А + В) * С = А * С + В * С
  9. (А – В) * С = А * С – В * С

Ради интереса можете попробовать подставить вместо букв любые числа и убедиться, что эти законы верны.

Вместо заключения

Раз есть в математике рациональные числа, значит, должны быть и им противоположные. Так и есть – они называются иррациональными. Это числа, которые нельзя записать в виде обычной дроби.

К таким числам относится математическая константа «пи». Многие знают, что она равна 3,14 и бесконечное количество знаков после запятой, причем их последовательность никогда не повторяется.

Иррациональные числа

Также к иррациональным числам относится много корней. Это касается тех, у кого в результате не получается целого числа. Самый простой пример – корень из 2. Но это уже тема для другой статьи.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Рациональное число — это число, которое можно представить как дробь. Т.е. если число можно получить делением двух целых чисел (число без дробной части), то это число рациональное.

Это число, которое можно представить обыкновенной дробьюm/n , где числитель m – целое число, и знаменатель n – натуральное число.

Например:

  • 1,15 — рациональное число т. к. его можно представить как 115/100;
  • 0,5 — рациональное число т. к. это 1/2;
  • 0 — рациональное число т. к. это 0/1;
  • 3 — рациональное число т. к. это 3/1;
  • 1 — рациональное число т. к. это 1/1;
  • 0,33333... — рациональное число т. к. это 1/3;
  • –5,4 — рациональное число т. к. это –54/10 = –27/5.

Множество рациональных чисел обозначается буквой “Q”.

Слово "рациональный" произошло от латыни "ratio", которое имеет несколько значений — число, расчёт, нумерация, рассуждение, разум и др.

Свойства рациональных чисел

Допустим а, b и c — любые рациональные числа.

Переместительные и сочетательные законы

а + b = b + а, например: 2 + 3 = 3 + 2;

а + (b + с) = (а + b) + с, например: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4;

а + 0 = а, например: 2 + 0 = 2;

а + (– а) = 0, например: 2 + (– 2) = 0

Переместительные и сочетательные законы при умножении

a × b = b × a, например: 2 × 3 = 3 × 2

a × (b × c) = (a × b) × c, например: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4

а × 1 = а, например: 2 × 1 = 2

а × 1/a = 1, если а ≠ 0; например: 2 × 1/2 = 1

а × 0 = 0, например: 2 × 0 = 0

а × b = 0, значит: или а = 0, или b = 0, или оба равны нулю

Распределительный закон умножения

Для сложения:

+ b) × с = ас + bс например: (2 + 3) × 4 = 2×4 + 3×4

Для вычитания:

b) × с = ас bс например: (3 – 2) × 4 = 3×4 – 2×4

Иррациональные числа

Иррациональные числа — противоположность рациональным числам, это те, которые НЕ могут быть записаны как простая дробь.

Например:

  • число Пи = 3,14159..., его можно записать как 22/7, но это будет лишь приблизительно и далеко не точно ( 22/7 = 3,142857..);
  • √2 и √99 — иррациональные, т. к. их невозможно записать дробью (корни часто иррациональные, но не всегда);
  • e (число) = 2,72 — иррациональное, т. к. его невозможно записать дробью;
  • золотое сечение φ=1,618... — иррациональное, т. к. его невозможно записать дробью.

Множество иррациональных чисел обозначается буквой “I”.

Какая разница между целыми, натуральными и рациональными числами

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа (ниже нуля) и нуль.

Например:

Все целые числа являются рациональными числами (натуральные в том числе), т. к. их можно представить в виде обыкновенной дроби.

Множество целых чисел в математике обозначается буквой Z.

Натуральные числа

Натуральные числа — это только целые числа, начиная с 1.

Например:

Этот счёт появился натуральным способом, когда люди ещё считали на пальцах и не знали цифр ("у меня столько коз, сколько пальцев на обеих руках"), поэтому нуль не входит в натуральные числа.

Множество натуральных чисел в математике обозначается буквой N.

Все десятичные дроби рациональные числа?

Десятичные дроби выглядят таким образом:

Это обычные дроби, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000 и т. д. Наши примеры мы можем записать в таком виде:

3,4 = 3,4;

2,19 =2,19 ;

0,561 = 0,561.

Это означает, что любая конечная десятичная дробь является рациональным числом.

Любую периодическую дробь тоже можно представить в виде обыкновенной дроби:

(3 повторяется)
(3 повторяется)

Следовательно, любая периодическая дробь является рациональным числом.

Но БЕСКОНЕЧНЫЕ и НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ десятичные дроби не считаются рациональными числами, т. к. их нельзя показать в виде обыкновенной дроби.

Можно запомнить, как шпаргалку, что число Пи (3,14159...) иррациональное. У него очень много неповторяющихся знаков после запятой и его невозможно представить в виде обыкновенной дроби.

Корни — рациональные числа или иррациональные?

Подавляющая часть квадратных и кубических корней — иррациональные числа. Но бывают исключения: если его можно представить как дробь (по определению рационального числа). Например:

  • √2 = 1,414214... — иррациональное;
  • √3 = 1,732050... — иррациональное;
  • ∛7 = 1,912931... — иррациональное;
  • √4 = 2 — рациональное (2 = 2/1);
  • √9 = 3 — рациональное (3 = 3/1).

История рациональных чисел и дробей

Самое раннее известное упоминание иррациональных чисел было между 800 и 500 г. до н. э. в индийской Сулба-Сутре.

Первое доказательство существования иррациональных чисел принадлежит древнегреческому философу-пифагорейцу Гиппасу из Метапонта. Он доказал (вероятнее всего геометрически) иррациональность квадратного корня из 2.

Легенда гласит, что Гиппас из Метапонта открыл иррациональные числа когда попытался представить квадратный корень из 2 в виде дроби. Однако Пифагор верил в абсолютность чисел и не смог принять существование иррациональных чисел.

Считается, что из-за этого между ними получился конфликт, который породил множество легенд. Многие говорят о том, что как раз это открытие убило Гиппаса.

В вавилонских записях по математике часто можно увидеть шестидесятеричную систему счисления, в которой уже использовались дроби. Эти записи были сделаны более 4000 лет назад, система была немного не такой, как у нас, но смысл тот же.

У египтян, которые жили в более поздний период, также был свой способ записи дробей, что-то похожее на: 3⁻¹ или 5⁻¹.

Узнайте больше про Натуральные числа, Число Пи, Числа Фибоначчи и Экспоненту.

Определение рациональных чисел

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Если число можно получить делением двух целых чисел, то это число рациональное.

Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде

вид рациональных чисел

где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.

Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.

Примеры рациональных чисел:

  • десятичная дробь 1,15 — это 115/100;
  • десятичная дробь 0,2 — это 1/2;
  • целое число 0 — это 0/1;
  • целое число 6 — это 6/1;
  • целое число 1 — это 1/1;
  • бесконечная периодическая дробь 0,33333... — это 1/3;
  • смешанное число смешанное число— это 25/10;
  • отрицательная десятичная дробь -3,16 — это -316/100.

Подружиться с математикой и повысить оценки в школе — проще, чем кажется. В детской школе Skysmart знают, как увлечь ребенка предметом и объяснить самую коварную тему.

Записывайте ребенка на бесплатный пробный урок: познакомим с платформой, решим пару задач в интерактивном формате и наметим программу обучения.

Свойства рациональных чисел

У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.

Основные свойства действий с рациональными числами
  • Переместительное свойство сложения: a + b = b + a.
  • Сочетательное свойство сложения: (a + b) +c = a + (b + c).
  • Сложение рационального числа и нейтрального элемента (нуля) не изменяет это число: a + 0 = a.
  • У каждого рационального числа есть противоположное число, а их сумма всегда равна нулю: a + (-a) = 0.
  • Переместительное свойство умножения: ab = ba.
  • Сочетательное свойство умножения: (a * b) * c = a * (b * c).
  • Произведение рационального числа и едины не изменяет это число: a * 1 = a.
  • У каждого отличного от нуля рационального числа есть обратное число. Их произведение равно единице: a * a−1 = 1.
  • Распределительное свойство умножения относительно сложения: a * (b + c) = a * b + a * c.

Кроме основных перечисленных есть еще ряд свойств:

 
  1. Правило умножения рациональных чисел с разными знаками: (-a) * b = -ab. Такая фраза поможет запомнить: «плюс на минус есть минус, и минус на плюс есть минус».
  2. Правило умножения отрицательных рациональных чисел: (−a) * (−b) = ab. Запомнить поможет фраза: «минус на минус есть плюс».
  3. Правило умножении произвольного рационального числа на нуль: a * 0 = 0 или 0 * a = 0. Докажем это свойство. Мы знаем, что 0 = d + (-d) для любого рационального d, значит a * 0 = a * (d + (-d)). Распределительный закон позволяет переписать выражение: a * d + a * (−d), а так как a * (−d) = -ad, то a * d + a * (-d) = a * d + (-ad). Так получилась сумма двух противоположных чисел, которая в результате дает нуль, что доказывает равенство a * 0 = 0.

Мы перечислили только свойства сложения и умножения. На множестве рациональных чисел вычитание и деление можно записать, как обратные к сложению и умножению. То есть, разность (a - b) можно записать, как сумму a + (-b), а частное a/b равно произведению a * b−1, при b ≠ 0.

Определение иррационального числа

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби

рациональная дробь

Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.

Примеры:

  • π = 3,1415926...
  • √2 = 1,41421356...
  • e = 2,71828182…
  • √8 = 2.828427...
  • -√11= -3.31662…

Обозначение множества иррациональных чисел: латинская буква I.

Действительные или вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.

Свойства иррациональных чисел:

  • результат суммы иррационального числа и рационального равен иррациональному числу;
  • результат умножения иррационального числа на любое рациональное число (≠ 0) равен иррациональному числу;
  • результат вычитания двух иррациональных чисел равен иррациональному числу или рациональному;
  • результат суммы или произведения двух иррациональных чисел равен рациональному или иррациональному, например: √2 * √8 = √16 = 4).

Различие между целыми, натуральными и рациональными числами

Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы посчитать что-то конкретное, осязаемое: один банан, две тетрадки, десять стульев.

А вот, что точно не является натуральным числом:

  • Нуль — целое число, которое при сложении или вычитании с любыми числами в результате даст то же число. Умножение на ноль дает ноль.
  • Отрицательные числа: -1, -2, -3, -4.
  • Дроби: 1/2, 3/4, 5/6.

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им и нуль.

Если два числа отличаются друг от друга знаком — их называют противоположными: +2 и -2, +7 и -7. Знак «плюс» обычно не пишут, и если перед числом нет никакого знака, значит оно положительное. Числа, перед которыми стоит знак «минус», называют отрицательными.

Какие числа называются рациональными мы уже знаем из первой части статьи. Повторим еще раз.

Рациональные числа — это конечные дроби и бесконечные периодические дроби.

Например: Пример Рациональных чисел

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числитель принадлежит целым числам, а знаменатель — натуральным. Поэтому во множество рациональных чисел входит множество целых и натуральных чисел.

множество рациональных чисел

Но не все числа можно назвать рациональными. Например, бесконечные непериодические дроби не принадлежат множеству рациональных чисел. Так √3 или 𝜋 (число пи) нельзя назвать рациональными числами.

Вот и разобрались! А если не совсем — приходите на увлекательные уроки математики в онлайн-школу Skysmart. Никаких скучных учебников: ребенка ждут интерактивные занятия, математические комиксы и учителя, которые никогда не оставят в беде.

Рациональные числа вы с ними уже знакомы, осталось только обобщить и сформулировать правила. Так какие числа называются рациональными числами? Рассмотрим подробно в этой теме урока.

Понятие рациональных чисел.

Определение:Рациональные числа – это числа, которые можно представить в виде дроби \(\frac{m}{n}\), где m – целое число, а n – натуральное число.

Другими словами, можно сказать:

Рациональные числа – это все натуральные числа, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Разберем каждый пункт подробно.

  1. Любое натуральное число можно представить в виде дроби, например, число 5=\(\frac{5}{1}\).
  2. Любое целое число можно представить в виде дроби, например, числа 4, 0 и -2. Получаем 4=\(\frac{4}{1}\), 0=\(\frac{0}{1}\) и -2=\(\frac{-2}{1}\).
  3. Обыкновенные дроби уже записаны в рациональном виде, например, \(\frac{6}{11}\) и \(\frac{9}{2}\).
  4. Бесконечные периодические дроби, например, 0,8(3)=\(\frac{5}{6}\).
  5. Конечные десятичные дроби, например, 0,5=\(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\).

Множество рациональных чисел.

Вспомним, что множество натуральны чисел обозначается латинской буквой N.Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.А множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q.

Во множество рациональных чисел входит множество целых и натуральных чисел в этом и заключается смысл рациональных чисел.

На рисунке можно показать множество рациональных чисел.

Множество рациональных чисел

Но не все числа являются рациональными. Бывают еще множества различных чисел, которые в дальнейшем вы будите изучать.Бесконечные непрериодические дроби не принадлежат множеству рациональных чисел.Например, число е, \(\sqrt{3}\) или число \(\pi\)  (читается число пи) не являются рациональными числами.

Вопросы по теме «Рациональные числа»:Какое выражение является рациональным числом из чисел \(\sqrt{5}, -0.(3), 15, \frac{34}{1569}, \sqrt{6}\) ?Ответ:Корень из 5 это выражение нельзя представить в виде конечно дроби или бесконечной периодической дроби, поэтому это число не рациональное.Бесконечная десятичная периодическая дробь -0,(3)=\(-\frac{3}{10}\) можно представить в виде дроби, поэтому это рациональное число.Число 15 можно представить в виде дроби \(\frac{15}{1}\), поэтому это рациональное число.Дробь \(\frac{34}{1569}\) это рациональное число.Корень из 6 это выражение нельзя представить в виде конечно дроби или бесконечной периодической дроби, поэтому это число не рациональное.

Записать число 1 в виде рационального числа?Ответ: чтобы записать в виде рационального число 1 нужно представить его в виде дроби 1=\(\frac{1}{1}\).

Докажите, что число \(\sqrt{0,0049}\) является рациональным?Доказательство: \(\sqrt{0,0049}=0,07\)

Является ли простое число под корнем рациональным числом?Ответ: нет. Например, любое простое число под корнем 2, 3, 5, 7, 11, 13, … не выносится из под корня и его нельзя представить в виде конечно дроби или бесконечной периодической дроби, поэтому не является рациональным числом.

Тема рациональных чисел достаточно обширна. О ней можно говорить бесконечно и писать целые труды, каждый раз удивляясь новым фишкам.

Чтобы не допускать в будущем ошибок, в данном уроке мы немного углубимся в тему рациональных чисел, почерпнём из неё необходимые сведения и двинемся дальше.

Что такое рациональное число

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби  a разделить на b , где a — это числитель дроби, b — знаменатель дроби. Причем b не должно быть нулём, поскольку деление на ноль не допускается.

К рациональным числам относятся следующие категории чисел:

  • целые числа (например −2, −1, 0 1, 2 и т.д.)
  • обыкновенные дроби (например одна втораяодна третьятри четвёртых  и т.п.)
  • смешанные числа (например две целых одна втораяодна целая две третьихминус две целых одна третья  и т.п.)
  • десятичные дроби (например 0,2 и т.п.)
  • бесконечные периодические дроби (например 0,(3) и т.п.)

Каждое число из этой категории может быть представлено в виде дроби a разделить на b .

Примеры:

Пример 1. Целое число 2 может быть представлено в виде дроби две первых . Значит число 2 относится не только к целым числам, но и к рациональным.

Пример 2. Смешанное число две целых одна вторая может быть представлено в виде дроби пять вторых. Данная дробь получается путём перевода смешанного числа в неправильную дробь

перевод двух целых одной второй в неправильную дробь

Значит смешанное число две целых одна вторая относится к рациональным числам.

Пример 3. Десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби две десятых . Данная дробь получилась путём перевода десятичной дроби 0,2 в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему десятичных дробей.

Поскольку десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби две десятых , значит она тоже относится к рациональным числам.

Пример 4. Бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби три девятых. Данная дробь получается путём перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему периодические дроби.

Поскольку бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби три девятых , значит она тоже относится к рациональным числам.

В дальнейшем, все числа которые можно представить в виде дроби, мы всё чаще будем называть одним словосочетанием — рациональные числа.

Рациональные числа на координатной прямой

Координатную прямую мы рассматривали, когда изучали отрицательные числа. Напомним, что это прямая линия на которой лежат множество чисел. Выглядит следующим образом:

координатная прямая рисунок 1

На этом рисунке приведен небольшой фрагмент координатной прямой от −5 до 5.

Отметить на координатной прямой целые числа вида 2, 0, −3 не составляет особого труда.

Намного интереснее дела обстоят с остальными числами: с обыкновенными дробями, смешанными числами, десятичными дробями и т.д. Эти числа лежат между целыми числами и этих чисел бесконечно много.

Например, отметим на координатной прямой рациональное число одна вторая . Данное число располагается ровно между нулём и единицей

одна вторая на координатной прямой

Попробуем понять, почему дробь одна вторая вдруг расположилась между нулём и единицей.

Как уже говорилось выше, между целыми числами лежат остальные числа — обыкновенные дроби, десятичные дроби, смешанные числа и т.д. К примеру, если увеличить участок координатной прямой от 0 до 1, то можно увидеть следующую картину

координатная прямая от нуля до единицы

Видно, что между целыми числами 0 и 1 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь одна вторая, которая расположилась там же, где и десятичная дробь 0,5. Внимательное рассмотрение этого рисунка даёт ответ на вопрос почему дробь одна вторая расположилась именно там.

Дробь одна вторая означает разделить 1 на 2. А если разделить 1 на 2, то мы получим 0,5

единица разделить на два пятое действие

Десятичную дробь 0,5 можно замаскировать и под другие дроби. Из основного свойства дроби мы знаем, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.

Если числитель и знаменатель дроби одна вторая умножить на любое число, например на число 4, то мы получим новую дробь четыре восьмых, а эта дробь также как и одна вторая равна 0,5

четыре разделить на восемь равно ноль целых пять десятых

А значит на координатной прямой дробь четыре восьмых можно расположить там же, где и располагалась дробь одна вторая

четыре восьмых на координатной прямой

Пример 2. Попробуем отметить на координатной рациональное число три вторых. Данное число располагается ровно между числами 1 и 2

три вторых на координатной прямой

Значение дроби три вторых равно 1,5

три разделить на два будет одна целая пять десятых

Если увеличить участок координатной прямой от 1 до 2, то мы увидим следующую картину:

координатная прямая от единицы до двух

Видно, что между целыми числами 1 и 2 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь три вторых, которая расположилась там же, где и десятичная дробь 1,5.

Мы увеличивали определенные отрезки на координатной прямой, чтобы увидеть остальные числа, лежащие на этом отрезке. В результате, мы обнаруживали десятичные дроби, которые имели после запятой одну цифру.

Но это были не единственные числа, лежащие на этих отрезках. Чисел, лежащих на координатной прямой бесконечно много.

Нетрудно догадаться, что между десятичными дробями, имеющими после запятой одну цифру, лежат уже другие десятичные дроби, имеющие после запятой две цифры. Другими словами, сотые части отрезка.

К примеру, попробуем увидеть числа, которые лежат между десятичными дробями 0,1 и 0,2

координатная прямая от нуля до одной десятой до двух десятых

Ещё пример. Десятичные дроби, имеющие две цифры после запятой и лежащие между нулём и рациональным числом 0,1 выглядят так:

координатная прямая от нуля до нуля одной десятой

Пример 3. Отметим на координатной прямой рациональное число Одна пятидесятая. Данное рациональное число будет располагаться очень близко к нулю

одна пятидесятая на координатной прямой

Значение дроби Одна пятидесятая равно 0,02

единица разделить на пятьдесят равно ноль целых две сотых

Если мы увеличим отрезок от 0 до 0,1 то увидим где точно расположилось рациональное число Одна пятидесятая

одна пятидесятая на координатной прямой от 0 до 0,1

Видно, что наше рациональное число Одна пятидесятая расположилось там же, где и десятичная дробь 0,02.

Пример 4. Отметим на координатной прямой рациональное число 0, (3)

Рациональное число 0, (3) является бесконечной периодической дробью. Его дробная часть никогда не заканчивается, она бесконечная

0,33333….и так далее до бесконечности..

И поскольку у числа 0,(3) дробная часть является бесконечной, это означает, что мы не сможем найти точное место на координатной прямой, где это число располагается. Мы можем лишь указать это место приблизительно.

Рациональное число 0,33333… будет располагаться очень близко к обычной десятичной дроби 0,3

ноль целых и три в периоде на координатной прямой

Данный рисунок не показывает точное место расположения числа 0,(3). Это лишь иллюстрация, показывающая как близко может располагаться периодическая дробь 0,(3) к обычной десятичной дроби 0,3.

Пример 5. Отметим на координатной прямой рациональное число две целых одна вторая . Данное рациональное число будет располагаться посередине между числами 2 и 3

две целых и одна вторая на координатной прямой

две целых одна вторая это есть 2 (две целых) и одна вторая (одна вторая). Дробь одна вторая по другому ещё называют «половиной». Поэтому мы отметили на координатной прямой два целых отрезка и ещё половину отрезка.

Если перевести смешанное число две целых одна вторая в неправильную дробь, то получим обыкновенную дробь пять вторых . Эта дробь на координатной прямой будет располагаться там же, где и дробь две целых одна вторая

пять вторых на координатной прямой

Значение дроби пять вторых равно 2,5

пять разделить на два будет одна целая пять десятых

Если увеличить участок координатной прямой от 2 до 3, то мы увидим следующую картину:

Пять вторых на координатной прямой от двух до трех

Видно, что наше рациональное число пять вторых расположилось там же, где и десятичная дробь 2,5

Минус перед рациональным числом

В предыдущем уроке, который назвался умножение и деление целых чисел мы научились делить целые числа. В роли делимого и делителя могли стоять как положительные, так и отрицательные числа.

Рассмотрим простейшее выражение

(−6) : 2 = −3

В данном выражении делимое (−6) является отрицательным числом.

Теперь рассмотрим второе выражение

6 : (−2) = −3

Здесь уже отрицательным числом является делитель (−2). Но в обоих случаях мы получаем один и тот же ответ −3.

Учитывая, что любое деление можно записать в виде дроби, мы можем рассмотренные выше примеры также записать в виде дроби:

минус шесть разделить на два равно минус три

шесть разделить на минус два равно минус три

А поскольку в обоих случаях значение дроби одинаково, минус стоящий либо в числителе либо в знаменателе можно сделать общим, поставив его перед дробью

минус шесть разделить на два или минус шесть вторых равно минус три

шесть разделить на минус два или минус шесть вторых равно минус три

Поэтому между выражениями  минус шесть разделить на два    и шесть разделить на минус два    и  минус шесть вторых  можно поставить знак равенства, потому что они несут одно и то же значение

минус шесть разделить на два равно шесть разделить на минус два равно минус шесть вторых

В дальнейшем работая с дробями, если минус будет нам встречаться в числителе или в знаменателе, мы будем делать этот минус общим, ставя его перед дробью.

Противоположные рациональные числа

Как и целое число, рациональное число имеет своё противоположное число.

Например, для рационального числа одна вторая противоположным числом является минус одна вторая . Располагается оно на координатной прямой симметрично расположению одна вторая  относительно начала координат. Другими словами, оба этих числа равноудалены от начала координат

минус одна вторая и одна вторая на координатной прямой

Перевод смешанных чисел в неправильные дроби

Мы знаем что для того, чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить к числителю дробной части. Полученное число будет числителем новой дроби, а знаменатель остаётся прежним..

Например, переведём смешанное число две целых одна вторая  в неправильную дробь

Умножим целую часть на знаменатель дробной части и прибавим числитель дробной части:

(2 × 2) + 1

Вычислим данное выражение:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Полученное число 5 будет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним:

пять вторых

Полностью данная процедура записывается следующим образом:

перевод двух целых одной второй в неправильную дробь

Чтобы вернуть изначальное смешанное число, достаточно выделить целую часть в дроби пять вторых

выделение целой части в дроби пять вторых

Но этот способ перевода смешанного числа в неправильную дробь применим только в том случае, если смешанное число является положительным. Для отрицательного числа данный способ не сработает.

Рассмотрим дробь минус пять вторых . Выделим в этой дроби целую часть. Получим минус две целых одна вторая

выделение целой части в дроби минус пять вторых

Чтобы вернуть изначальную дробь минус пять вторых нужно перевести смешанное число минус две целых одна вторая  в неправильную дробь. Но если мы воспользуемся старым правилом, а именно умножим целую часть на знаменатель дробной части и к полученному числу прибавим числитель дробной части, то получим следующее противоречие:

перевод минус двух целых одной второй в неправильную дробь

Мы получили дробь минус три вторых , а должны были получить дробь минус пять вторых .

Делаем вывод, что смешанное число минус две целых одна вторая в неправильную дробь переведено неправильно:

минус две целых одна вторая

Чтобы правильно перевести отрицательное смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, и из полученного числа вычесть числитель дробной части. В этом случае у нас всё встанет на свои места

правильный перевод минус двух целых одной второй в неправильную дробь

Отрицательное смешанное число минус две целых одна вторая является противоположным для смешанного числа две целых одна вторая . Если положительное смешанное число две целых одна вторая располагается в правой части и выглядит так

две целых и одна вторая на координатной прямой

то отрицательное смешанное число минус две целых одна вторая будет располагаться в левой части симметрично две целых одна вторая относительное начала координат

Минус две целых одна вторая и две целых и одна вторая на координатной прямой

И если две целых одна вторая читается как «две целых и одна вторая», то минус две целых одна вторая читается как «минус две целых и минус одна вторая». Поскольку числа −2 и минус одна вторая располагаются в левой части координатной прямой — они оба являются отрицательными.

Любое смешанное число можно записать в развёрнутом виде. Положительное смешанное число две целых одна вторая в развёрнутом виде записывается как два плюс одна вторая.

А отрицательное смешанное число минус две целых одна вторая записывается как минус две целых минус одна вторая

Теперь мы можем понять, почему смешанное число минус две целых одна вторая расположилось в левой части координатной прямой. Минус перед двойкой указывает, что мы сдвинулись от нуля на два шага влево, в результате оказались в точке, где находится число −2

минус два на координатной прямой

Затем, начиная от числа −2 сдвинулись ещё влево на минус одна вторая шага. А поскольку значение минус одна вторая равно −0,5 то наш шаг будет половиной от полного шага.

минус два и минус одна вторая на координатной прямой

В итоге, мы окажемся посередине между числами −3 и −2

минус две целых и минус одна вторая на координатной прямой

Пример 2. Выделить в неправильной дроби минус двадцать семь пятых целую часть, затем полученное смешанное число обратно перевести в неправильную дробь

Выполним первую часть задания, а именно выделим в неправильной дроби минус двадцать семь пятых целую часть

Выделение целой части в дроби минус двадцать семь пятых

Выполним вторую часть задания, а именно переведём полученное смешанное число минус пять целых две пятых в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель дробной части и из полученного числа вычтем числитель дробной части:

Перевод минус пяти целых двух пятых в неправильную дробь

Если нет желания путаться и привыкать к новому правилу, то можно  смешанное число заключить в скобки, а минус оставить за скобкой. Тогда можно будет применить старое доброе правило: умножить целую часть на знаменатель дробной части и к полученному числу прибавить числитель дробной части.

Выполним предыдущее задание этим способом, а именно переведём смешанное число минус пять целых две пятых в неправильную дробь

Перевод минус пяти целых двух пятых в неправильную дробь решение со скобками

Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?Используй кнопку ниже

Добавить комментарий