Racjonalne numery ℹ️ w matematyce, definicji, właściwościach, działaniach na nich, przykłady, jak udowodnić, że liczba jest racjonalna

Racjonalne liczby Co to jest

Numery racjonalne można omówić na nieskończoność, znalezienie nowych wiórów i błędów tolerancyjnych w zrozumieniu.

Aby uniknąć problemów z takimi liczbami, warto rozważyć niektóre z tych informacji o nich. Pomoże to przyswajać materiał i zapewni niezbędną wiedzę w matematyce.

Co stanowi

Zacznij od, należy rozumieć, jakie numery są nazywane racjonalnymi. Są uważane za frakcje w formie numeratora i mianownika. Co więcej, ten ostatni nie powinien być zerowy, ponieważ podział na taką liczbę jest uważany za nieważny.

Kategorie liczb mogą być oznaczone racjonalnym:

Jakie numery są nazywane racjonalnymi
  1. Liczby całe, zarówno pozytywne, jak i negatywne.
  2. Matematyczne wyrażenia frakcyjne różnych typów.
  3. Połączenie zwykłych i ułamkowych.
  4. Frakcje dziesiętne.
  5. Nieskończone frakcje okresowe.

Wszystkie grupy wskazanych wyrażeń są reprezentowane jako frakcja A / B. Na przykład, numer 2 może być reprezentowany w postaci frakcji 2/1, co umożliwia przypisanie go zarówno całym i racjonalnym.

Podobnie można reprezentować w postaci frakcji, mieszanych i niekończących się frakcji okresowych. Dlatego dla takich wyrażeń oznaczenie jest liczbami racjonalnymi.

Na koordynatorze bezpośredni

Wcześniej, badając liczby ujemne w lekcjach szkolnych, wprowadzono koncepcję bezpośredniego współrzędnego. Istnieje wiele punktów na takiej linii. Szczególnie trudno rozwiązać wyszukiwanie frakcji i mieszanych wskaźników, jak oni Leżąc między liczbami całkowitymi w nieskończonych ilościach:

Przykłady liczby racjonalnej
  • Na przykład frakcja 0,5 znajduje się między zero a urządzeniem. Jeśli zwiększysz interwał takiej linii prostej, łatwo jest widzieć frakcyjne od 0,1 do 0,9, kosztuje ½ w środku. W ten sam sposób można zamaskować matematyczne frakcje formularza 3/6, 4/8 i tak dalej.
  • Jeśli chodzi o frakcję 3/2, znajduje się na linii arytmetycznej między jednostką a dwómi. Między nimi w dużych ilościach występują frakcje dziesiętne, w tym pożądane. Wzrost niektórych segmentów daje pomysł, że nadal leży na koordynatowi bezpośrednio między liczbą całkowitą. W rezultacie wyrażenia pojawiły się po śladowym znaku. I takie wartości wielki zestaw, w tym między frakcyjnym.
  • Ale można znaleźć rzeczywiste miejsce nieskończonej frakcji okresowej tylko dlatego, że trafia do nieskończoności. Można znaleźć wiele ilustracji, jak blisko ułamek w warunkach realnych może być zlokalizowany.

Dlatego, gdy biorąc pod uwagę, co oznacza racjonalną liczbę oznacza na bezpośrednie koordynowanie, ważne jest, aby znać jego wygląd i czy można przekonwertować na inny. Często konieczne jest znalezienie osobnej nieruchomości lub zilustrowania zadania za pomocą określonych segmentów.

Jeśli warto minus.

Kiedy uczniowie przeszły temat mnożenia i podziałów, stały się znane: w roli dzielników i podziale może działać jako wyrażenia negatywne i pozytywne.

Co to jest liczba racjonalna w matematyce

Tak więc, odmiany 6: -2 = -3 i -6: 2 = -3 mają ten sam wynik, chociaż znak minus ma różne części.

Dlatego Każdy podział może być reprezentowany jako frakcja , Minus jest ustawiony w liczniku lub w mianowniku. Albo uczynić go powszechnym.

Pomiędzy wszystkimi trzema wariacjami można umieścić znak równości, ponieważ ich wynik jest taki sam numer.

Każdy z racjonalnych wskaźników ma przeciwny.

Na przykład, dla frakcji ½ oznacza -1 i jego odmiany. Oba są równomierne na początku współrzędnych i znajdują się w środku.

Tłumaczenie na frakcje

Przeniesienie mieszanego wyrażenia do niewłaściwej frakcji odbywa się przy użyciu mnożenia przez mianownika, część ułamkową i dodać do numeratora. Wynikowa nowa frakcja z tym samym mianownikiem.

Możesz rozważyć algorytm na następnym prostym przykładzie:

Wiele liczb racjonalnych
  • Istnieje 2,5, co powinno zostać przetłumaczone na niewłaściwą frakcję.
  • Cały wskaźnik musi zostać pomnożony przez kanał części frakcyjnej i dodać liczbę tej samej części.
  • Uzyskana wartość może być odejmowana jako (2 * 2) + 1 = 4 + 1 = 5.
  • 5 będzie licznikiem, a mianownik będzie taki sam i okaże się 5/2.
  • Zwróć początkowe mieszane może być podświetlone jako całość.

Jednak ta metoda nie nadaje się do wartości ujemnej. Jeśli używasz dawnej reguły i przeznaczyć całą część, możesz uzyskać sprzeczność formularza: (-2 * 2) + ½ = -3 / 2, chociaż konieczne było uzyskanie -5/2.

Dlatego należy zdefiniować inną metodę. Cała część jest pomnożona przez mianownika części frakcyjnej. . Od uzyskiwanej wartości cyfrowo część frakcyjnej jest odejmowana. A potem okazuje się poprawną odpowiedź.

Dzięki koordynować bezpośrednio można rozumieć, dlaczego mieszany -2,5 znajduje się po lewej stronie. Minus wskazuje przesunięcie w lewo w liczbie dwóch kroków. Trafienie nastąpiło w pkt -2. Po tym przesunięcie jest wciąż pół kroku i średnim między -3 a -2.

Porównanie liczb między sobą

Z poprzednich lekcji łatwo udowodnić, że prawo do prawa jest wartość, tym bardziej jest. Wręcz przeciwnie, im bardziej lewica sytuacji sugeruje, że rozważana wartość jest mniejsza niż inny wskaźnik.

Wartość, której wyrażenie jest racjonalnym numerem

W przypadku takich przypadków, gdy porównanie liczb zostanie osiągnięty po prostu, istnieje taka reguła: z 2 liczb z pozytywnymi znakami, co ma więcej modułu. I dla negatywnego, to jest, którego moduł jest mniejszy. Na przykład istnieją liczby -4 i -2. Przy porównywaniu modułów można powiedzieć, że -4 mniej -2.

Jednocześnie przybysza często przyznają następujący błąd : Zmieszany modułem i bezpośrednio numer. W końcu moduł -3 i moduł -1 nie wskazuje, że -3 jest więcej -1, ale wręcz przeciwnie. Można to rozumieć od koordynowanego bezpośredniego, gdzie pierwszy pozostaje po lewej stronie drugiego. Jeśli chcesz porównać wartości, ważne jest zwrócenie uwagi na znaki. Minus mówi o negatywności wyrażenia i odwrotnie.

Kilka przykładów

Jest nieco bardziej skomplikowany, aby odnosić się do mieszanych liczb, ekstrakcji korzenia, wartości ułamkowego. Będzie to wymagać zmiany zasad, ponieważ nie zawsze jest możliwe, aby przedstawić ich na koordynatowi bezpośrednio. W tym względzie wymagane jest porównanie ich w inny sposób niż w szkole:

Co oznacza racjonalny numer
  1. Na przykład istnieją dwie wartości ujemne, a mianowicie -3/5 i -7/3.
  2. Najpierw są moduły w postaci 3/5 i 7/3, które są pozytywne.
  3. Następnie każdy jest napędzany wspólnym mianownikiem, który wystaje 15.
  4. W oparciu o regułę wartości ujemnych, racjonalnych -3/5 więcej -7/3, ponieważ jego moduł jest mniejszy.

Łatwiej jest porównać moduły części całkowitej, ponieważ można szybko odpowiedzieć na pytanie. Wiadomo, że całe części są ważniejsze w porównaniu z frakcjami. Jeśli zauważysz numery 15.4 i 2,1212, cała część pierwszej liczby jest więcej niż druga, a zatem frakcja.

Sytuacja jest nieco bardziej skomplikowana z przykładem, w którym istnieją wartości -3,4 i -3.7. Moduły liczb całkowitych są takie same, dlatego muszą być porównywane do wartości racjonalnych. Następnie okazuje się, że -3.4 więcej wynosi -3,7, ponieważ jego moduł jest mniejszy.

Porównując prostą i okresową frakcję, ten ostatni należy przetłumaczyć na standardową. Tak, 0, (3) staje się 3/9. Porównywanie, przetłumacz frakcje do całkowitego mianownika 0, (3) i 4/8, okazuje się 24/72 i 36/72. Oczywiście 24/72 <36/72. Oznacza to, że moduł 4/8 większy moduł 0, (3) oznacza to, że jest uważany za duży.

Numery racjonalne są bogatym tematem. Ich badanie jest uważane za trudne, wymagające uwzględnienia wielu niuansów i wyjaśnień głównych punktów, działań z liczbami arytmetycznymi i tak dalej. Pomimo pozornej prostoty program do określenia liczb są racjonalne i porównania są skompilowane, biorąc pod uwagę obecność części frakcyjnych, znaków po przecinku i przed wyrażeniem.

Zależy to od wyszukiwania prawidłowej odpowiedzi i rozwiązania ogólnego zadania, w tym poszukiwania interesów i woluminów.

Racjonalne wskaźniki mogą odnosić się do asystentów w przejściu do złożonych sekcji w tym przebiegu matematyki i dają ideę naturalnych i dziesiętnych wyrażeń numerycznych w ogóle, w szczególności w sprawie niezwykłych przypadków.

Wszyscy słyszeli o racjonalnych numerach, ale nie wszyscy rozumieją, że reprezentują. W rzeczywistości wszystko jest proste.

Źródło: Yandex.
Źródło: Yandex.

Liczba wymierna - Jest to wynik dzielenia dwóch liczb całkowitych. Na przykład, numer 2 jest wynikiem dzielącej 4 i 2, a numer 0,2 jest 2 podzielony przez 10. Każda racjonalna liczba możemy przedstawić dla siebie w formie ułamka M / n. gdzie mjest liczbą całkowitą n- Liczba naturalna.

Jak wyglądają liczby racjonalne? To może być:

  • Frakcje (1/2, 5/10)
  • Liczby całkowite (1, 2, 5)
  • Mieszane numery
  • Frakcje dziesiętne (0,14, 4,1)
  • Niekończące się frakcje okresowe (na przykład podczas dzielenia 10 do 3, otrzymujemy 3 33333 ...)

Q - oznaczenie zestawu liczb racjonalnych.

Reklama
Reklama
Nie każdy student może sobie pozwolić na semestr w szkole średniej 100 000 ₽. . Ale ochłodzić, że jest Granty uczyć się. Grant-on-School.RF to jest Możliwość uczenia się od pożądanej specjalności. Połączyć wszyscy otrzymają bonus 300 ₽. przed 100 000 ₽. Grant-on-School.RF

Właściwości liczb racjonalnych

  • Każda liczba naturalna jest racjonalna.
  • Każda liczba cała jest racjonalna.
  • Numery racjonalne podążają za regułą Zapierający dech w piersiach i ruchomych Nieruchomości. Oznacza to, że ze zmian w miejscach warunków wartości sumy nie do zmiany.

a + b = b + a

(A + B) + C = A + (B + C)

A + 0 = A

A + (- A) = 0

Przykłady:

2 + 3 = 5 i 3 + 2 = 5, oznacza to 2 + 3 = 3 + 2.

14+ (1 + 4) = 19 i (14 + 1) + 4 = 19, co oznacza 14+ (1 + 4) = (14 + 1) +4

  • Również te prawa są przechowywane przy pomnożeniem.

a × b = b × a

A × (B × C) = (A × B) × C

a × 1 = a

A × 1 / A = 1

A × 0 = 0

A × B = 0

Przykłady:

3x4 = 12 i 4x3 = 12, oznacza 3x4 = 4x3

5x (2x3) = 30 i (5x2) x3 = 30, oznacza 5x (2x3) = (5x2) x3

  • W przypadku liczb racjonalnych, prawo dystrybucji mnożenia będzie sprawiedliwe.

(A + B) × C = AC + BC

(A - B) × C = AC - BC

Przykłady:

(4 + 7) X5 = 55 i 4x5 + 7x5 = 55, co oznacza (4 + 7) x5 = 4x5 + 7x5

Irracjonalne liczby i korzenie

Aby lepiej zrozumieć, jakie są różne liczby racjonalne, powinieneś wiedzieć, jakie nie są numery. Lub raczej, jakie liczby będą irracjonalne. Takie liczby nie można zapisać w formie prostej frakcji:

  • Liczba PI, która wynosi około 3,14. Może być reprezentowany jako frakcja, ale ta wartość będzie tylko przybliżona.
  • Jakieś korzenie. Na przykład korzeń 2 lub od 99 nie można napisać jako frakcję
  • Złota sekcja, która jest w przybliżeniu równa 1,61. Tutaj sytuacja jest taka sama jak w przypadku liczby Pi.
  • Liczba eulera, który wynosi około 2,718, nie jest również racjonalny.
Reklama
Reklama
Przypominamy o usłudze Grant-on-School.RF . Nie przegap swojej szansy, aby dowiedzieć się, co lubisz. Dobrze lub po prostu oszczędzaj na nauce. Na pewno dostaniesz od 300 ₽. przed 100 000 ₽, Po linku. Grant-on-School.RF !

Większość irracjonalnych numerów znajduje się wśród korzeni, ale nie wszystkie irracjonalne korzenie. Na przykład, źródło numeru 4 jest numer 2 i może być reprezentowany jako frakcja. Oznacza to, że korzeń spośród 4 jest racjonalnym numerem.

Dziękujemy za czytanie artykułu. Nie zapomnij o subskrypcji kanału, a także zalecane przeczytanie kanału naszych przyjaciół:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac. - Ostatnie osiągnięcia naukowe i najlepsze praktyki edukacyjne.
Miłego dnia i nie choruj.

Jakie są liczby racjonalne

14 stycznia 2021.

Witaj, drodzy czytelnicy blogów KTONANOVENKOGO.RU. Dziś porozmawiamy o terminach matematycznych.

I tym razem opowiemy wszystko o liczbach racjonalnych. Koniecznie wchodzą do programu szkolnego, a dzieci zaczynają studiować je w klasie 6.

Słowo "racjonalne" jest znane wiele. I pod nim oznacza coś "logicznego" i "prawo". W rzeczywistości jest.

Racjonalne numery są ...

Termin ma łacińskie korzenie, a przetłumaczony "stosunek" oznacza "numer", "obliczenia", "powód", "rozumowanie" i "numerowanie". Ale istnieją inne tłumaczenia - "frakcja" i "dział".

Rational Number - dowolny numer, który można wyświetlić W formie frakcji A / B . Tutaj jest liczbą całkowitą, a B jest naturalny.

Warto przypomnieć, że:

  1. Wszystkie liczby - Są to wszystkie możliwe liczby jako negatywne i pozytywne. I stosuje się również zero. Stan główny - nie powinny być frakcyjne. To jest, -15, 0 i +256 można nazwać liczbami całkowitymi i 2,5 lub -3.78 - nie.
  2. Liczby całkowitej - Są to liczby używane z wynikiem, to znaczy "naturalne pochodzenie". Jest to seria 1, 2, 3, 4, 5 i tak dalej do nieskończoności. Ale liczby zerowe i negatywne, a także frakcyjne - nie należą do naturalnego.

A jeśli zastosujesz te definicje, możemy powiedzieć, że:

Numer racjonalny jest ogólnie wszystkimi możliwymi liczbami, z wyjątkiem nieskończonych nieuzasadowych frakcji dziesiętnych. Wśród nich są naturalne i liczone liczbami całkowitymi, zwykłe i skończone frakcje dziesiętne, a także niekończące się okresowe frakcje.

Schemat

Historia studiów liczb racjonalnych

Nie wiadomo, kiedy ludzie zaczęli studiować frakcje. Jest opinia, że ​​wiele tysięcy lat temu. I wszyscy zaczęły się od podziału banalnego. Na przykład ktoś musiał być podzielony, ale nie działał na równych częściach. Ale okazało się jakikolwiek inny i ile w rzucie.

Najprawdopodobniej ułamek badano w starożytnym Egipcie, a w starożytnej Grecji. Następnie matematyka znacznie zaawansowała w nauce. I trudno jest założyć, że ten temat pozostał ich nie badany. Chociaż niestety żadna z prac nie została znaleziona szczegółowych instrukcji dotyczących liczb racjonalnych.

Matematyk

Ale oficjalnie uważa się, że pojęcie ułamków dziesiętnej pojawił się w Europie w 1585 roku. Ten termin matematyczny w swoich pismach utrwalał holenderskiego inżyniera i matematyka Simona Steveina.

Przed nauką był zwykłym sprzedawcą. I najprawdopodobniej był w sprawach handlowych, które często stoją w obliczu liczb ułamkowych. Co następnie opisane w swojej książce "dziesiąte".

W nim Stevech wyjaśnił nie tylko przydatność frakcji dziesiętnych, ale także w każdy sposób promował ich użycie. Na przykład w systemie środków, aby dokładnie określić wartość czegoś.

Odmiany liczb racjonalnych

Napisaliśmy już, że koncepcje liczb racjonalnych spadają prawie wszystkie możliwe opcje. Teraz rozważmy istniejące opcje bardziej szczegółowo:

  1. Liczby całkowitej . Każda liczba od 1 i do nieskończoności może być reprezentowana jako frakcja. Wystarczy zapamiętać prostą zasadę matematyczną. Jeśli podzieliisz numer na jednostkę, to ten sam numer będzie. Na przykład 5 = 5/1, 27 = 27/1, 136 = 136/1 i tak dalej.
  2. Wszystkie liczby . Dokładnie ta sama logika, jak w przypadku liczb naturalnych, działa tutaj. Numery ujemne mogą być również reprezentowane jako frakcja z podziałem na jednostkę. I będzie również w stosunku do zera. Na przykład -356 = -356/1, -3 = -3/1, 0 = 0/1 i tak dalej.
  3. Zwykłe frakcje . To bezpośrednio odnosi się do definicji liczb racjonalnych. Na przykład, 6/11, 2/5, -3/10 i tak dalej.
  4. Nieskończone okresowe frakcje . Są to liczby, które po przecinku, nieskończone wiele znaków i ich sekwencję powtarza się. Najprostsze przykłady 1/3, 5/6 i tak dalej.
  5. Skończone frakcje dziesiętne . Są to liczby, które mogą być rejestrowane w dwóch różnych opcjach, w których istnieje bardzo specyficzna liczba średników. Najłatwiejszy przykład jest w połowie. Można go oznaczyć strzał 0.5 lub frakcji ½.

Wszystkie numery, które są zawarte w koncepcji racjonalnej nazywane są mnóstwem liczb racjonalnych. W matematyce przyjęty jest do oceny łacińskiej litera Q. .

I graficznie można go przedstawić:

Liczby

Właściwości liczb racjonalnych

Numery racjonalne posłuszeństwa Wszystkie główne prawa matematyki :

  1. A + b = b + a
  2. A + (B + C) = (A + C) + z
  3. A + 0 = A
  4. A + (-a) = 0
  5. A * b = v * a
  6. A * 1 = a
  7. A * 0 = 0
  8. (A + C) * C = A * C + V * C
  9. (A - C) * C = A * C - V * z

Ze względu na interesy możesz spróbować zastąpić dowolne liczby zamiast liter i upewnić się, że prawa te są prawdziwe.

Zamiast więzienia

Gdy w matematyce są racjonalne liczby, oznacza to, że powinny być przeciwne. Więc są - nazywają się irracjonalny . Są to liczby, które nie mogą być zapisywane w formie zwykłej frakcji.

Numery te należą do stałej matematycznej "PI". Wielu wie, że jest równa 3.14 i nieskończona liczba znaków dziesiętnych, a ich sekwencja nigdy nie jest powtarzana.

Irracjonalne numery

Również irracjonalne liczby dotyczy wielu korzeni. Dotyczy to tych, którzy nie otrzymują liczby całkowitej. Najprostszym przykładem jest korzenie 2. ale jest to temat dla innego artykułu.

Powodzenia! Widząc szybkie spotkania na stronach ktonanovenkogo.ru

Numer racjonalny jest liczbą, która może być reprezentowana jako frakcja. Te. Jeśli numer można uzyskać, dzieląc dwa liczby całkowite (liczba bez części frakcyjnej), to jest racjonalne.

Jest to numer, który można złożyć zwykłym strzałem M / n., gdzie numerator M jest liczbą całkowitą, a mianownik n jest numerem naturalnym.

Na przykład:

  • 1,15 - racjonalna liczba t. Może być reprezentowany jako 115/100;
  • 0,5 - racjonalna liczba, ponieważ jest 1/2;
  • 0 jest racjonalnym numerem, ponieważ jest 0/1;
  • 3 - liczba racjonalna, ponieważ jest 3/1;
  • 1 - liczba racjonalna, ponieważ jest 1/1;
  • 0,33333 ... - liczba racjonalna, ponieważ jest 1/3;
  • -5.4 - Numer racjonalny, ponieważ jest -54/10 = -27/5.

Wiele Numery racjonalne są wskazywane przez list "Q" .

Słowo "Rational" pochodzi z łacińskiego "stosunku", który ma kilka wartości - liczba, obliczenia, numeracja, rozumowanie, umysł itp.

Właściwości liczb racjonalnych

Załóżmy, że a, b i c - dowolne liczby racjonalne.

Ruch i przepisy dotyczące kombinacji

A + B = B + i, na przykład: 2 + 3 = 3 + 2;

A + (B + C) = (A + B) + C, na przykład: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4;

A + 0 = A, na przykład: 2 + 0 = 2;

A + (- A) = 0, na przykład: 2 + (- 2) = 0

Ruchy i przepisy dotyczące kombinacji przy pomnożeniu

A × B = B × A, na przykład: 2 × 3 = 3 × 2

A × (B × C) = (A × B) × C, na przykład: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4

A × 1 = A, na przykład: 2 × 1 = 2

a × 1 / a = 1, jeśli ≠ 0; Na przykład: 2 × 1/2 = 1

A × 0 = 0, na przykład: 2 × 0 = 0

A × B = 0, oznacza to: lub = 0 lub b = 0 lub oba są zerowe

Mnożenie prawa dystrybucyjnego

Za dodanie:

(i +b) × s = a с + bсNa przykład: (2 + 3) × 4 = 2 × 4 + 3 × 4

Do odejmowania:

(i b) × с = A. с bсNa przykład: (3 - 2) × 4 = 3 × 4 - 2 × 4

Irracjonalne numery

Numery irracjonalne - przeciwieństwo liczb racjonalnych, są to te, które nie mogą być napisane jako prostą frakcję.

Na przykład:

  • Numer Pi = 3 14159 ... Może być napisany jako 22/7, ale będzie tylko o и daleko od pewnej 22/7 = 3,142857 ..);
  • √2 i √99 - Irracjonal, ponieważ nie są niemożliwe do rejestrowania frakcji (korzenie są często irracjonalne, ale nie zawsze);
  • e (numer) = 2,72 - irracjonalny, ponieważ nie można nagrać frakcji;
  • Złoty przekrój poprzeczny φ = 1,618 ... - irracjonalny, ponieważ niemożliwe jest nagranie frakcji.

Wiele Irracjonalne numery są wskazywane przez list "JA" .

Jaka jest różnica między liczbami całkowitymi, naturalnymi i racjonalnymi

Nagrody są liczbami naturalnymi przeciwnymi liczbami (poniżej zera) i zero.

Na przykład:

Wszystko liczby całkowite są racjonalne Liczby (naturalne, w tym), ponieważ mogą być reprezentowane jako zwykła frakcja.

Wiele liczby całkowite w matematyce są wskazywane przez list Z.

Liczby całkowitej

Numery naturalne są tylko liczbami całkowitymi począwszy od 1.

Na przykład:

To konto pojawiło się w naturalny sposób, kiedy ludzie nadal myślą na palcach i nie znali liczb ("Mam tak wiele kóz, ile palców na obu rękach"), więc zero nie jest wliczone w liczby naturalnych.

Wiele Numery naturalne w matematyce są wskazywane przez list N.

Wszystkie frakcje dziesiętne są liczbami racjonalnymi?

Frakcje dziesiętne wyglądają jak:

Są to zwykłe frakcje, które mianownik jest równy 10, 100, 1000 itp. Nasze przykłady możemy pisać w tym formularzu:

3,4 =. 3,4.;

2,19 =. 2,19. ;

0,561 =. 0,561..

Oznacza to, że każdy Skończone Frakcja dziesiętna jest liczbą racjonalną.

Ktoś Układ okresowy Możesz także przesłać w formie zwykłej frakcji:

(3 powtórzenia)
(3 powtórzenia)

W związku z tym każda okresowa frakcja jest racjonalnym numerem.

Ale niekończące się i nieuzasadnione frakcje dziesiętne nie są uważane za liczby racjonalne, ponieważ nie można ich pokazać w formie zwykłej frakcji.

Pamiętaj, jak łóżeczko jest to liczba P. (3 14159 ...) irracjonalny . Ma wiele znaków bez rafinacji po przecinku i niemożliwe jest wyobrazić w formie zwykłej frakcji.

Korzenie - liczby racjonalne lub irracjonalne?

Przytłaczająca część korzeni kwadratowych i sześciennych jest liczbami irracjonalnymi. Ale są wyjątki: jeśli może być reprezentowany jako frakcja (z definicji liczby racjonalnej). Na przykład:

  • √2 = 1,414214 ... - irracjonalny;
  • √3 = 1.732050 ... - irracjonalny;
  • ∛7 = 1 912931 ... - irracjonalny;
  • √4 = 2 - Rational (2 = 2/1);
  • √9 = 3 - Rational (3 = 3/1).

Historia racjonalnych numerów i frakcji

Najwcześniejszym znanym wzmiankiem o liczbach irracjonalnych wynosił między 800 a 500 pne. mi. W Sutrze Indian Sulbę.

Pierwszym dowodem istnienia liczb irracjonalnych należy do starożytnego greckiego filozofa hipagorskiego hipagina z Metapont. Udowodnił (najbardziej prawdopodobny geometrycznie) irracjonalność pierwiastka kwadratowego z 2.

Legenda stwierdza, że ​​hipaty z Metapont otwartą liczby irracjonalne, gdy próbował przedstawić pierwiastek kwadratowy z 2 w postaci frakcji. Jednak Pitagoras wierzyli w liczbę bezwzględną i nie mogły zaakceptować istnienia liczb irracjonalnych.

Uważa się, że z tego powodu istniał konflikt między nimi, którzy spowiadali wiele legend. Wielu mówi, że to odkrycie zostało zabite przez hipaty.

W rekordach babilońskich w matematyce często można zobaczyć sześciomiesięczny system numeru, w którym ułamki zostały już użyte. Te rekordy zostały wykonane ponad 4000 lat temu, system był nieco inny, jak my, ale punkt jest taki sam.

Egipcjanie, którzy mieszkali w późniejszym okresie również mieli swój własny sposób na pisanie frakcji, podobnie jak: 3⁻⁻ lub 5⁻⁻.

Dowiedz się więcej o numery naturalnych, numer PI, liczbach Fibonacci i Wystawcy.

Oznaczanie liczb racjonalnych

Liczba wymierna - Jest to liczba, która może być reprezentowana jako pozytywna lub negatywna zwykła frakcja lub liczba zero. Jeśli numer można uzyskać przez podzielenie dwóch liczb całkowitych, jest to racjonalna liczba.

Racjonalne numery to te, które mogą być reprezentowane jako

Rodzaj liczby racjonalnych

gdzie numerator M jest liczbą całkowitą, a mianownik n jest numerem naturalnym.

Liczby wymierne - Są to wszystkie naturalne, liczby całkowite, zwykłe frakcje, niekończące się frakcje okresowe i ostatnie frakcje dziesiętne.

Wiele liczb racjonalnych Jest zwyczajowo oznaczenie listu łacińskiego Q.

Przykłady liczb racjonalnych:

  • Frakcja dziesiętna 1.15 wynosi 115/100;
  • Frakcja dziesiętna 0,2 wynosi 1/2;
  • Intger 0 wynosi 0/1;
  • Integer 6 to 6/1;
  • Integer 1 to 1/1;
  • Nieskończona frakcja okresowa 0,33333 ... wynosi 1/3;
  • Pomieszane numery Pomieszane numery- Jest 25/10;
  • Ujemna frakcja dziesiętna -3.16 wynosi -316/100.

Zaprzyjaźnij się z matematyką i zwiększyć szacunki w szkole - łatwiejsze niż wydaje się. W szkołach szkolnych dzieci wie, jak urzeczyć dziecko z tematem i wyjaśnić najbardziej podstępny temat.

Zapisz dziecko do bezpłatnej lekcji próbnej: wprowadzić platformę, rozwiązać kilka zadań w formacie interaktywnym i dokonać programu uczenia się.

Właściwości liczb racjonalnych

Numery racjonalne mają pewne prawa i wiele właściwości - rozważ każdą z nich. Niech a, b i c będą dowolnymi liczbami racjonalnymi.

Główne właściwości działania z liczbami racjonalnymi
  • Ruchoma właściwość dodawania: A + B = B + A.
  • Właściwość kombinacji dodawania: (A + B) + C = A + (B + C).
  • Dodanie liczby racjonalnej i neutralnego elementu (zero) nie zmienia tego numeru: A + 0 = a.
  • Każda liczba racjonalna ma przeciwną liczbę, a ich suma jest zawsze zero: A + (-a) = 0.
  • Ruch mnożenia: AB = BA.
  • Właściwość kombinacji mnożenia: (A * B) * C = A * (B * C).
  • Produkt liczby racjonalnej i nie zmienia tego numeru: A * 1 = a.
  • Każda inna liczba racjonalna ma numer odwrotny. Ich produkt jest równy: A * A - 1 = 1.
  • Właściwość dystrybucji mnożenia względem dodawania: A * (B + C) = A * B + A * C.

Oprócz głównego wymienionego, nadal istnieje wiele właściwości:

 
  1. Zasada mnożenia liczb racjonalnych z różnymi znakami: (-a) * b = -ab. Taka fraza pomoże zapamiętać: "Plus jest minus dla minus i jest minus minus".
  2. Zasada mnożenia negatywnych numerów racjonalnych: (-a) * (-b) = ab. Pamiętaj, że fraza pomoże: "Minus for minus jest plus".
  3. Zasada mnożenia dowolnej liczby racjonalnej do zera: A * 0 = 0 lub 0 * A = 0. Udowodniamy tę właściwość. Wiemy, że 0 = D + (-D) dla każdego racjonalnego D, co oznacza A * 0 = A * (D + (-D)). Prawo dystrybucji umożliwia przepisywanie wyrażenia: A * D + A * (-D), a od A * (-D) = -ad, a następnie A * D + A * (-D) = A * D + ( -Ad). Okazało to sumę dwóch przeciwnych liczb, które w wyniku daje zero, co dowodzi równości A * 0 = 0.

Wymieniamy tylko właściwości dodawania i mnożenia. Na zestawie liczb racjonalnych, odejmowania i podziału mogą być rejestrowane jako odnoszące się do dodawania i mnożenia. Oznacza to, że różnica (A - B) może być zapisywana jako suma + (-b), a prywatny A / B jest równy produktowi A * B-1, z B ≠ 0.

Definicja liczby irracjonalnej

Liczba niewymierna - Jest to prawidłowy numer, którego nie można wyrazić w postaci dzielącej dwóch liczb całkowitych, czyli w racjonalnym frakcji

racjonalna frakcja

Może być wyrażony w postaci nieskończonej nieuzasadnionej frakcji dziesiętnej.

Niekończące się okresowe ułamek dziesiętny - Jest to taka frakcja, których dziesiętne znaki są powtarzane w postaci grupy liczb lub jednej i tej samej liczby.

Przykłady:

  • π = 3 1415926 ...
  • √2 = 1,41421356 ...
  • E = 2,71828182 ...
  • √8 = 2,828427 ...
  • -√11 = -3.31662 ...

Oznaczenie zestawu liczb irracjonalnych: Letter Letter I.

Ważne lub prawdziwe liczby - Są to wszystkie racjonalne i irracjonalne numery: pozytywne, negatywne i zerowe.

Właściwości liczb irracjonalnych:

  • Wynik sumy liczby irracjonalnej liczby i racjonalna jest równa liczbie irracjonalnej;
  • Wynik mnożenia liczby irracjonalnej liczby na dowolnej liczbie racjonalnej (≠ 0) jest równa liczbie irracjonalnej;
  • Wynik odejmowania dwóch irracjonalnych numerów jest równy irracjonalnej liczbie lub racjonalnej;
  • Wynik sumy lub produktu dwóch irracjonalnych numerów jest racjonalny lub irracjonalny, na przykład: √2 * √8 = √16 = 4).

Różnica między liczbami całkowitymi, naturalnymi i racjonalnymi

Liczby całkowitej - Są to liczby, których używamy do obliczenia czegoś konkretnego, namacalnego: jednego banana, dwa notebooki, dziesięć krzeseł.

Ale co dokładnie nie jest naturalna liczba:

  • Zero jest liczbą całkowitą, która przy dodawaniu lub odejmowaniu dowolnych liczb w wyniku tego samego numeru. Mnożenie na zero daje zero.
  • Numery ujemne: -1, -2, -3, -4.
  • Drobi: 1/2, 3/4, 5/6.

Wszystkie liczby - Są to liczby naturalne naprzeciwko nich i zero.

Jeśli dwie liczby różnią się od siebie - nazywane są odwrotnie: +2 i -2, +7 i -7. Znak plus zazwyczaj nie jest napisany, a jeśli nie ma znaku przed numerem, oznacza to, że jest dodatni. Liczby naprzeciwko znaku "minus" są nazywane negatywami.

Jakie numery są nazywane Rational już znamy z pierwszej części artykułu. Powtórz jeszcze raz.

Liczby wymierne - Są to skończone frakcje i niekończące się frakcje okresowe.

Na przykład: Przykład liczb racjonalnych

Każda racjonalna liczba może być reprezentowana w postaci frakcji, w której numerator należy do liczb całkowitych, a mianownik jest naturalny. Dlatego w wielu liczbach racjonalnych obejmują wiele liczb całkowitych i liczb naturalnych.

Wiele liczb racjonalnych

Ale nie wszystkie liczby można nazwać racjonalnymi. Na przykład nieskończone frakcje nieuzasadowe nie należą do zestawu liczb racjonalnych. Więc √3 lub Π (numer PI) nie można nazwać liczbami racjonalnymi.

Więc pomyślałem! A jeśli nie całkiem - przychodzą na ekscytujące lekcje matematyki w szkole internetowej Skysmart. Brak nudnych podręczników: Dziecko czeka na zajęcia interaktywne, komiksy matematyczne i nauczycieli, którzy nigdy nie zostawili kłopotów.

Racjonalne numery, które już znasz, pozostaje tylko do podsumowania i sformułowania zasad. Więc jakie numery nazywane są liczbami racjonalnymi? Rozważ szczegóły w tej lekcji tematycznej.

Koncepcja liczb racjonalnych.

Definicja: Liczby wymierne - Są to liczby, które mogą być reprezentowane jako frakcja (frac {m} {n}), gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest numerem naturalnym.

Innymi słowy, możesz powiedzieć:

Liczby wymierne - Są to wszystkie liczby naturalne, liczby całkowite, zwykłe frakcje, niekończące się okresowe frakcje i skończone frakcje dziesiętne.

Przeanalizujemy każdy szczegół szczegółowo.

  1. Każdy numer naturalny może być reprezentowany jako frakcja, na przykład, numer 5 = \ (frac {5} {1}).
  2. Każdy liczb całkowity może być reprezentowany jako frakcja, na przykład, liczby 4, 0 i -2. Uzyskujemy 4 = (frac {4} {1}), 0 = (frac {0} {1}) i -2 = \ (frac {-2} {1}).
  3. Zwykłe frakcje są już zapisane w postaci racjonalnej, na przykład, (frac {6} {11}) i (frac {9} {2}).
  4. Nieskończone frakcje okresowe, na przykład 0,8 (3) = (frac {5} {6}).
  5. Frakcje skończone dziesiętne, na przykład 0,5 = (frac {5} {10} = frac {1} {2}).

Wiele liczb racjonalnych.

Przypomnijmy, że zestaw liczb naturalnych jest oznaczony listą łacińską z N. Specyfikacja liczb całkowitych jest wskazywana przez Latin Letter Z.a. Zestaw liczb racjonalnych jest wskazywana literą łacińską Q.

W wielu liczbach racjonalnych wiele liczb całkowitych i liczb naturalnych obejmuje znaczenie liczb racjonalnych.

Na rysunku możesz pokazać różne liczby racjonalne.

Wiele liczb racjonalnych

Ale nie wszystkie liczby są racjonalne. Istnieje jeszcze wiele różnych liczb, które w przyszłości będziesz się bawić. Odblaskowe ułamki nieresonalne nie należą do zestawu liczb racjonalnych. Na przykład numer E, (sqrt {3}) lub numer Pi) (liczba pi jest odczytywana) to liczby racjonalne.

Pytania na temat "Numery racjonalne": Jaki wyraz jest racjonalny numer z numerów (sqrt {5}, -0. (3), 15, frac {34} {1569}, sqrt {6})? Odpowiedź: Korzeń 5 wyrażeniem nie można przedłożyć w formie oczywiście frakcji lub nieskończonej frakcji okresowej, dlatego liczba ta nie jest racjonalna. Referencyjna dziesiętna frakcja okresowa -0, (3) = (- frac {3) = } {10}) może być reprezentowany w postaci frakcji, dlatego jest to liczba racjonalna. Numer 15 może być reprezentowany jako frakcja (frac {15} {1}), dlatego jest racjonalny Numer. Te (frac {34} {1569}) jest racjonalnym numerem. Anti-6 Wyrażenie to nie można złożyć w formie oczywiście frakcji lub nieskończonej frakcji okresowej, więc liczba ta nie jest racjonalna.

Napisz numer 1 jako numer racjonalny? Odpowiedź: Zapisanie jako racjonalna liczba 1, konieczne jest przedstawienie go w postaci frakcji 1 = (frac {1} {1}).

Udowodnij, że liczba (sqrt {0,0049}) jest racjonalny? Dowód: (Sqrt {0,0049} = 0,07)

Jest prostą liczbą pod korzeniem liczby racjonalnej? Odpowiedź: Nie. Na przykład, dowolna prosta liczba pod korzeniem 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... nie wyjęta z korzenia i nie może być reprezentowany w formie oczywiście frakcji lub nieskończonej frakcji okresowej, dlatego nie jest Liczba wymierna.

Temat liczby racjonalnych jest dość obszerny. Możesz porozmawiać o tym nieskończenie i pisząc wszystkie prace, za każdym razem zaskoczony nowymi frytkami.

Aby uniknąć błędów w przyszłości, w tej lekcji będziemy trochę głębiej w temacie liczb racjonalnych, wyciągam z niego niezbędne informacje i ruszyć dalej.

Co to jest racjonalna liczba

Numer racjonalny to liczba, która może być reprezentowana jako frakcja Podzielony przez bgdzie a - Jest to cyfrator frakcji, b- mianownik fraci. Ponadto bNie powinno być zero, ponieważ podział nie jest dozwolony.

Poniższe kategorie liczb obejmują liczby racjonalne:

  • liczby całkowite (na przykład -2, -1, 0 1, 2 itp.)
  • Zwykłe frakcje (na przykład półjedna trzeciatrzy kwartyitp.)
  • Liczby mieszane (na przykład Dwa liczby całkowite jednej sekundyjedna jedna trzeciaminus dwa całkowitą jedną trzeciąitp.)
  • Frakcje dziesiętne (na przykład 0,2 itp.)
  • Nieskończone frakcje okresowe (na przykład 0, (3) itp.)

Każda liczba tej kategorii może być reprezentowana jako frakcja Podzielony przez b .

Przykłady:

Przykład 1. Intger 2 może być reprezentowany jako frakcja Pierwsze dwa. Więc numer 2 odnosi się nie tylko do liczb całkowitych, ale także racjonalny.

Przykład 2. Pomieszane numery Dwa liczby całkowite jednej sekundymoże być reprezentowany jako frakcja Pięć sekund. Ta frakcja jest uzyskiwana przez przeniesienie mieszanej liczby do niewłaściwej frakcji

Tłumaczenie dwóch liczb całkowitych jeden sekundę do niewłaściwej frakcji

Tak mieszany numer. Dwa liczby całkowite jednej sekundyodnosi się do liczb racjonalnych.

Przykład 3. Frakcja dziesiętna 0,2 może być reprezentowana jako frakcja Dwie dziesiąte. Frakcja ta okazała się przez przeniesienie ułamka dziesiętnego 0,2 do zwykłej frakcji. Jeśli w tej chwili masz trudności, powtórz temat frakcji dziesiętnych.

Ponieważ frakcja dziesiętna 0,2 może być reprezentowana jako frakcja Dwie dziesiąteOznacza to, że odnosi się również do liczb racjonalnych.

Przykład 4. Nieskończona frakcja okresowa 0, (3) może być reprezentowana jako frakcja Trzy dziewiątki.. Ta frakcja uzyskuje się poprzez przeniesienie czystej ułamka okresowej w zwykłej frakcji. Jeśli w tej chwili masz trudności, powtórz temat okresowych frakcji.

Ponieważ niekończąca się ułamek okresowy 0, (3) może być reprezentowany jako frakcja Trzy dziewiątki.Oznacza to, że odnosi się również do liczb racjonalnych.

W przyszłości wszystkie liczby, które mogą być reprezentowane w formie frakcji, będziemy coraz bardziej wywoływani w jednym frazie - liczby wymierne .

Racjonalne numery na koordynatach bezpośrednio

Koordynat bezpośrednio, uważaliśmy, że badano liczby ujemne. Przypomnijmy, że jest to linia prosta, na której istnieje wiele liczb. Następująco:

Koordynuj bezpośredni rysunek 1

Liczba ta pokazuje mały fragment współrzędnych bezpośrednio od -5 do 5.

Zaznacz na koordynowanych bezpośrednich liczb całkowitych gatunków 2, 0, -3 nie jest trudne.

Jest to znacznie ciekawe rzeczy z resztą liczb: ze zwykłymi frakcjami, liczbami mieszanymi, frakcjami dziesiętnymi itp. Te liczby leżą między liczbami całkowitymi, a liczby te są bardzo nieskończenie.

Na przykład zauważamy na współrzędnej bezpośredniej liczbie racjonalnej pół. Ten numer znajduje się dokładnie między zero a urządzeniem

Jedna sekunda na drodze współrzędnej

Spróbujmy zrozumieć, dlaczego frakcja półNagle osiadł od zera i jednostki.

Jak wspomniano powyżej, istnieją inne liczby między liczbami całkowitymi - frakcjami zwykłymi, frakcjami dziesiętnymi, liczbami mieszanymi itp. Na przykład, jeśli zwiększysz sekcję w linii współrzędnych od 0 do 1, możesz zobaczyć poniższy obraz

Koordynować prosto od zera do jednego

Można zauważyć, że istnieją już inne liczby racjonalne między liczbami całkowitymi 0 a 1, co znają dla nas frakcje dziesiętne. Nasza frakcja jest tutaj widoczna półktóry znajduje się tam, gdzie i ułamek dziesiętny wynosi 0,5. Uprzejmy rozważanie tego zdjęcia daje odpowiedź na pytanie, dlaczego frakcja półZnajduje się tam.

Frakcja półśrodki podzielone od 1 do 2. i jeżeli podzielone od 1 do 2, dostajemy 0,5

Jednostka podzielona na dwie piąte

Frakcja dziesiętna 0,5 może być maskowana i pod innymi frakcjami. Od głównej właściwości frakcji wiemy, że jeśli numer i denomoter fraci pomnóż lub podzielony na tę samą liczbę, wówczas wartość frakcji nie zmieni się.

Jeśli numer i mianownik półPomnóż przez dowolną liczbę, na przykład przez numer 4, wtedy otrzymamy nową frakcję Cztery ósmy.i ta frakcja, jak również półrówny 0,5.

Cztery podzielone za osiem równa się zero aż pięć dziesiątych

A zatem na strzał współrzędnych Cztery ósmy.może znajdować się w tym samym miejscu, w którym znajduje się frakcja pół

Cztery ósmy na koordynatowi bezpośrednio

Przykład 2. Spróbujmy zauważyć na współrzędnej racjonalnej liczbie Trzy sekundy. Ten numer znajduje się dokładnie między liczbami 1 a 2

trzy sekundy na koordynatorze bezpośredni

Wartość fracu Trzy sekundyRówny 1,5.

Trzy podzielone na dwie osoby będą pierwsze pięć dziesiątych

Jeśli zwiększysz obszar współrzędnych bezpośrednio od 1 do 2, zobaczymy następujące zdjęcie:

koordynować bezpośrednio od jednego do dwóch

Można zauważyć, że istnieją już inne racjonalne numery między liczbami całkowitymi 1 i 2, co znają dla nas frakcje dziesiętne. Nasza frakcja jest tutaj widoczna Trzy sekundyktóry znajduje się tam, gdzie i ułamek dziesiętny 1.5.

Zwiększyliśmy pewne segmenty na temat współrzędnych bezpośrednio, aby zobaczyć inne liczby leżące na tym segmencie. W rezultacie znaleźliśmy frakcje dziesiętne, które miały jedną cyfrę po przecinku.

Ale nie były to jedyne liczby leżące na tych segmentach. Liczby leżące na koordynatorze Direct jest bardzo nieskończenie.

Nie trudno jest odgadnąć, że istnieją już inne ułamki dziesiętne między frakcjami dziesiętnymi o frakcjach dziesiętnej, mający dwie cyfry po przecinku. Innymi słowy, setne części segmentu.

Na przykład, spróbujmy zobaczyć liczby, które leżą między ułamkami dziesiętną 0,1 do 0,2

Koordynować prosto od zera do jednej dziesiątej do dwóch dziesiątych

Inny przykład. Frakcje dziesiętne mające dwie cyfry po przecinku i leżące między zero a racjonalną liczbą 0.1 wyglądają tak:

koordynować prosto od zera do zero jednej dziesiątej

Przykład 3. Uwaga na temat współrzędnej bezpośredniej liczby racjonalnej Jeden pięćdziesiąt.. Ta racjonalna liczba będzie bardzo blisko zera

jeden pięćdziesiąt na koordynatowy bezpośredni

Wartość fracu Jeden pięćdziesiąt.Równy 0,02.

Jednostka oddzielona przez pięćdziesiąt równa się zero aż dwie setne

Jeśli zwiększymy segment od 0 do 0,1, zobaczymy, gdzie zostanie dokładny numer racjonalny. Jeden pięćdziesiąt.

Jeden pięćdziesiąt na współrzędnej bezpośrednio od 0 do 0,1

Widać, że nasza racjonalna liczba Jeden pięćdziesiąt.Znajduje się tam, gdzie i frakcja dziesiętna wynosi 0,02.

Przykład 4. Uwaga dotycząca współrzędnej bezpośredniej liczby racjonalnej 0, (3)

Racjonalna liczba 0, (3) jest nieskończoną frakcją okresową. Jego frakcyjna część nigdy się nie kończy, jest nieskończona

0,33333 .... i tak dalej do nieskończoności ..

A ponieważ w liczbach 0, (3) część frakcyjna jest nieskończona, oznacza to, że nie będziemy mogli znaleźć dokładnego miejsca na koordynatowi bezpośrednio, gdzie znajduje się ten numer. Możemy tylko określić to miejsce w przybliżeniu.

Numer racjonalny wynosi 0,33333 ... będzie bardzo blisko zwykłej frakcji dziesiętnej 0,3

zero całości i trzy w okresie współrzędnych bezpośrednio

Ten rysunek nie pokazuje dokładnej lokalizacji numeru 0, (3). Jest to tylko ilustracja pokazujące, w jaki sposób frakcja okresowa 0, (3) można ściśle umieścić do konwencjonalnej frakcji dziesiętnej 0,3.

Przykład 5. Uwaga na temat współrzędnej bezpośredniej liczby racjonalnej Dwa liczby całkowite jednej sekundy. Ten racjonalny numer będzie umieszczony w środku między liczbami 2 a 3

Dwie całe i jedna sekunda na koordynatowi bezpośrednio

Dwa liczby całkowite jednej sekundyJest 2 (dwa liczby całkowite) i pół(pół). Frakcja półinaczej zwana również "połowa". Dlatego zauważyliśmy na koordynatach bezpośrednio dwa całe segmenty i kolejną połowę segmentu.

Jeśli przetłumaczysz mieszaną liczbę Dwa liczby całkowite jednej sekundyW niewłaściwej frakcji otrzymujemy zwykłą frakcję Pięć sekund. Ta frakcja na temat koordynatu zostanie tam zlokalizowana, gdzie i frakcja Dwa liczby całkowite jednej sekundy

Pięć sekund na koordynatorze bezpośredni

Wartość fracu Pięć sekundRównie 2,5.

Pięć podzielonych na dwie osoby będą pierwsze pięć dziesiątych

Jeśli zwiększysz obszar współrzędnej linii prostej od 2 do 3, zobaczymy następujące zdjęcie:

Pięć sekundy na współrzędnej bezpośrednio od dwóch do trzech

Widać, że nasza racjonalna liczba Pięć sekundZnajduje się tam, gdzie i ułamek dziesiętny 2.5

Minus przed racjonalnym numerem

W poprzedniej lekcji, która została zwana mnożeniem i podział całkowitymi, nauczyliśmy się dzielić liczbami całkowitymi. Rola podziału i dzielnika może stać zarówno liczby dodatnie, jak i ujemne.

Rozważmy najprostszy wyraz

(-6): 2 = -3

W tym wyrażeniu podzielne (-6) jest liczbą ujemną.

Teraz rozważ drugą ekspresję

6: (-2) = -3

Tutaj liczba ujemna jest dzielnikiem (-2). Ale w obu przypadkach otrzymujemy tę samą odpowiedź -3.

Biorąc pod uwagę, że każdy podział może być napisany w formie frakcji, możemy również przejrzeć przykłady napisane w formie ułamka:

minus sześć podzielony na dwa równa się minus trzy

sześć podzielonych na minus dwa równa się minus trzy

A ponieważ w obu przypadkach wartość frakcji jest taka sama, minus stojąca albo w liczniku w mianowniku może być wykonana z generałem, wkładając ją przed frakcją

minus sześć podzielony na dwa lub minus sześć sekund równych minus trzy

Sześć podzielonych na minus dwa lub minus sześć sekund równych minus trzy

Dlatego między wyrażeniami minus sześć podzielony na dwa    и sześć podzielił się na minus dwa    и  Minus sześć sekundyMożesz umieścić znak równości, ponieważ noszą to samo znaczenie

Minus sześć podzielony na dwa równa się sześć podzielonych na minus dwa równa się minus sześć sekund

W przyszłości, pracując z frakcjami, jeśli minus spotka nas w liczbie lub w mianowniku, uczynimy to minus wspólny, wprowadzając go przed oszustwami.

Przeciwne liczby racjonalne

Oprócz liczby całkowitej, numer racjonalny ma przeciwną liczbę.

Na przykład, dla liczby racjonalnej półStrona przeciwna jest Minus jedna sekunda. Znajduje się na skoordynowanej bezpośredniej lokalizacji symetrycznej. półw stosunku do początku współrzędnych. Innymi słowy, obie te liczby są równomierne od początku współrzędnych.

minus jedna sekunda i jedna sekunda na koordynatorze bezpośredni

Tłumaczenie liczb mieszanych w nieprawidłowej frakcji

Wiemy, że w celu przetłumaczenia mieszanej liczby w niewłaściwej frakcji musisz pomnożyć mianownik części ułamkowej i dodać do części frakcyjnej. Wynikowy numer będzie licznikiem nowej frakcji, a mianownik pozostaje taki sam ..

Na przykład przetłumaczymy mieszaną liczbę Dwa liczby całkowite jednej sekundyW niewłaściwym strzale

Pomnóż całą część do mianownika części frakcyjnej i dodać frakcyjną część części:

(2 × 2) + 1

Oblicz to wyrażenie:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Wynikowa liczba 5 będzie licznikiem nowej frakcji, a mianownik pozostanie taki sam:

Pięć sekund

W pełni podana procedura jest zapisywana następująco:

Tłumaczenie dwóch liczb całkowitych jeden sekundę do niewłaściwej frakcji

Aby przywrócić oryginalną liczbę mieszaną, wystarczy podświetlić całą część ułamka Pięć sekund

Przydział całej części w frakcji pięć sekund

Ale ta metoda tłumaczenia liczby mieszanej do niewłaściwej frakcji ma zastosowanie tylko wtedy, gdy liczba mieszana jest dodatnia. Dla numeru ujemnego, ta metoda nie będzie działać.

Rozważ frakcję Minus pięć sekund. Wyróżniamy się w tej frakcji całą część. Otrzymać minus dwa liczbę całkowitą jedną sekundę

Przydział całej części w zgniecionym minus pięć sekund

Aby zwrócić początkową frakcję Minus pięć sekundpotrzeba przetłumaczenia liczby mieszanej minus dwa liczbę całkowitą jedną sekundęW niewłaściwej frakcji. Ale jeśli użyjemy starej reguły, mianowicie, pomnożę liczbę całkowitą na mianowniku części ułamkowej i dodać liczbę frakcyjnej części do uzyskanej liczby, otrzymamy następującą sprzeczność:

tłumaczenie minus dwóch liczb całkowitych jeden sekundę do niewłaściwej frakcji

Otrzymaliśmy frakcję Minus trzy sekundyi musiał zdobyć frakcję Minus pięć sekund .

Doszliśmy do wniosku, że liczba mieszana minus dwa liczbę całkowitą jedną sekundęW niewłaściwej frakcji przełożonej nieprawidłowo:

minus dwa liczbę całkowitą jedną sekundę

Aby prawidłowo przetłumaczyć negatywną liczbę mieszaną w niewłaściwej frakcji, musisz pomnożyć przez mianownika części frakcyjnej i wynikowej liczby odejmować Część ułamkowa. W takim przypadku wszyscy będziemy wpadać na miejsce

Prawidłowe tłumaczenie minus dwóch liczb całkowitych jednej sekundy do niewłaściwej frakcji

Negatywna liczba mieszana minus dwa liczbę całkowitą jedną sekundęjest odwrotnie dla mieszanej liczby Dwa liczby całkowite jednej sekundy. Jeśli pozytywna liczba mieszana Dwa liczby całkowite jednej sekundyznajduje się po prawej stronie i wygląda jak

Dwie całe i jedna sekunda na koordynatowi bezpośrednio

następnie negatywna liczba mieszana minus dwa liczbę całkowitą jedną sekundębędzie zlokalizowany po lewej stronie symetrycznie Dwa liczby całkowite jednej sekundyWzględny początek współrzędnych

Minus dwóch liczb całkowitych jeden sekundę i dwie całości i jedna sekunda na koordynatowi bezpośrednio

I jeśli Dwa liczby całkowite jednej sekundyCzytaj jako "dwie całości i jedna sekunda" minus dwa liczbę całkowitą jedną sekundęCzytanie AS. "Minus dwa całe i minus jedna sekunda" . Od liczb -2 i Minus jedna sekundaZablokowany po lewej stronie współrzędnej Direct - Oboje są negatywne.

Każda mieszana liczba może być napisana w wdrażaniu. Pozytywna liczba mieszana Dwa liczby całkowite jednej sekundyW rozmieszczeniu napisany jako Dwa plus jedna sekunda.

Negatywny numer mieszany minus dwa liczbę całkowitą jedną sekundęNagrany AS. minus dwa całe minus jedna sekunda

Teraz możemy zrozumieć, dlaczego liczba mieszana minus dwa liczbę całkowitą jedną sekundęZnajduje się po lewej stronie koordynatu bezpośrednia. Minus przed dwoma wskazuje, że przeprowadziliśmy się z zera, w wyniku czego pozostały dwa kroki, okazało się w punkcie, w którym numer -2 jest

minus dwa na koordynatorze bezpośrednio

Następnie, począwszy od numeru -2, przeniósł się w lewo Minus jedna sekundaKrok. I od wartości Minus jedna sekundaRównie -0.5, nasz krok będzie połowa z pełnego kroku.

minus dwa i minus jeden sekundę na koordynatowi bezpośrednio

W rezultacie znajdziemy mnie w środku między liczbami -3 do -2

minus dwa liczby całkowite i minus jeden sekundę na koordynatorze bezpośredni

Przykład 2. Przydziel w nieprawidłowej frakcji minus dwadzieścia siedem piątyCała część, a następnie uzyskaną mieszaną liczbę z powrotem do przeniesienia do niewłaściwej frakcji

Wykonujemy pierwszą część zadania, a mianowicie, alokujemy w niewłaściwej frakcji minus dwadzieścia siedem piątyCała część

Alokacja całej części w zgniecionym minus dwudziestu siedem piątej

Wykonujemy drugą część zadania, a mianowicie tłumaczę wynikową liczbę mieszaną minus pięć całych dwóch piątychW niewłaściwej frakcji. W tym celu pomnożą całą część do mianownika części ułamkowej i z uzyskanej liczby frakcyjny numer części zostanie odjęty:

Przeniesienie minus pięć liczb całkowitych dwóch piątych w niewłaściwej frakcji

Jeśli nie ma pragnienia, aby zostać zdezorientowanym i przyzwyczaić się do nowej reguły, możesz wykonać mieszaną liczbę w nawiasach, a minus zostawiaj wspornikiem. Wtedy możliwe będzie zastosowanie starej dobrej zasady: pomnóż całą część do mianownika części ułamkowej i dodać frakcyjny numer części do uzyskanej liczby.

Wykonaj poprzednie zadanie w ten sposób, a mianowicie tłumaczę mieszaną liczbę minus pięć całych dwóch piątychW niewłaściwym strzale

Tłumaczenie minus pięć liczb całkowitych dwa piąte w niewłaściwym rozwiązaniu frakcji z nawiasami

Czy lubiłeś lekcję? Dołącz do naszej nowej grupy VKontakte i zacznij odbierać powiadomienia o nowych lekcjach

Było chęć wspierania projektu? Użyj poniższego przycisku

Добавить комментарий