Números racionais ℹ️ Em matemática, definição, propriedades, ação sobre eles, exemplos, como provar que o número é racional

Números racionais o que é

Os números racionais podem ser discutidos para o infinito, encontrando novas fichas e erros tolerantes na compreensão.

A fim de evitar problemas com esses números, vale a pena considerar algumas dessas informações sobre elas. Isso ajudará a assimilar o material e fornecerá o conhecimento necessário em matemática.

O que constitui

Para começar, deve ser entendido quais números são chamados racionais. Essas são consideradas frações na forma de numerador e denominador. Além disso, o último não deve ser zero, uma vez que a divisão em tal número é considerada inválida.

As categorias de números podem ser denotadas por racional:

Quais números são chamados racionais
  1. Números inteiros, seja positivo ou negativo.
  2. Expressões fracionárias matemáticas de diferentes tipos.
  3. Combinação de ordinária e fracionária.
  4. Frações decimais.
  5. Frações periódicas infinitas.

Todos os grupos de expressões indicado são representados como fração A / B. Por exemplo, o número 2 pode ser representado na forma de frações 2/1, o que torna possível atribuí-lo a todo o todo e racional.

Da mesma forma, na forma de frações, frações periódicas mistas e infinitas podem ser representadas. Portanto, para tais expressões, a designação é números racionais.

Na coordenada direta

Anteriormente, ao estudar números negativos nas lições escolares, o conceito de coordenada direto foi introduzido. Existem muitos pontos em tal linha. Especialmente difícil resolver a busca por frações e indicadores mistos, como eles Deitado entre inteiros em quantidades infinitas:

Exemplos do número racional
  • Por exemplo, a fração 0.5 está localizada entre zero e unidade. Se você aumentar o intervalo de tal linha reta, é fácil ver fracionário de 0,1 a 0,9, custa ½ no meio. Da mesma forma, as frações matemáticas da forma 3/6, 4/8 e assim por diante podem ser mascaradas.
  • Quanto à fração 3/2, ele está localizado em uma linha aritmética entre a unidade e um TWOS. Entre eles em grande número, há frações decimais, incluindo o desejado. Um aumento em certos segmentos dá uma ideia de que ainda reside na coordenada direta entre o inteiro. Como resultado, as expressões apareceram após um sinal de ponto-e-vírgula. E esses valores um ótimo conjunto, incluindo entre fracionamento.
  • Mas é possível encontrar o lugar real da infinita fração periódica apenas porque vai para o infinito. Você pode encontrar muitas ilustrações de quão perto a fração em termos reais pode ser localizada.

Portanto, ao considerar o que um número racional significa sobre coordenar direto, é importante conhecer sua aparência e é possível converter para outro. Muitas vezes é necessário encontrar uma propriedade separada ou ilustrar a tarefa usando segmentos específicos.

Se vale menos

Quando os alunos passaram pelo tema de multiplicação e divisões, eles se tornaram conhecidos: no papel dos divisores e divisíveis podem atuar como expressões negativas e positivas.

O que são números racionais em matemática?

Assim, variações 6: -2 = -3 e -6: 2 = -3 têm o mesmo resultado, embora o sinal de menos tenha partes diferentes.

Porque Cada divisão pode ser representada como uma fração , menos é definido em numerador ou no denominador. Ou torná-lo comum.

Entre todas as três variações, você pode colocar um sinal de igualdade, já que seu resultado é o mesmo número.

Cada um dos indicadores racionais tem o oposto.

Por exemplo, para a fração ½ é -1 e suas variações. Ambos são equidistantes para o início das coordenadas e estão localizados no meio.

Tradução em frações

A transferência de uma expressão mista para a fração errada é realizada usando multiplicação pelo denominador, a parte fracionária e adicione ao numerador. A nova fração resultante com o mesmo denominador.

Você pode considerar o algoritmo no próximo exemplo simples:

Muitos números racionais
  • Há 2.5, que deve ser traduzido para a fração errada.
  • Todo o indicador deve ser multiplicado pelo canal da parte fracionária e adicione o numerador da mesma peça.
  • O valor resultante pode ser subtraído como (2 * 2) + 1 = 4 + 1 = 5.
  • 5 será um numerador, e o denominador será o mesmo e vai acabar com 5/2.
  • Devolver o misto inicial pode ser destacado como uma peça inteira.

No entanto, este método não é adequado para um valor negativo. Se você usar a regra anterior e alocar toda a parte, você pode obter uma contradição do formulário: (-2 * 2) + ½ = -3 / 2, embora seja necessário obter -5/2.

Portanto, você deve definir outro método. Toda a parte é multiplicada pelo denominador da parte fracionária. . Do valor resultante, o numerador da parte fracionária é subtraído. E então acaba a resposta correta.

Graças à coordenada direta, pode ser entendido por que misturado -2,5 está localizado no lado esquerdo. Menos indica uma mudança para a esquerda no número de duas etapas. O hit ocorreu no ponto -2. Depois disso, a mudança ainda é meio passo e meio entre -3 e -2.

Comparação de números entre si

De lições anteriores é fácil provar que o direito à direita é o valor, mais é. E pelo contrário, quanto mais à esquerda da situação sugere que o valor em consideração é menor que outro indicador.

O valor de qual expressão é um número racional

Para tais casos, quando a comparação dos números é obtida simplesmente, há tal regra: de 2 números com sinais positivos, que tem mais módulo. E para negativo, é, cujo módulo é menor. Por exemplo, existem números -4 e -2. Ao comparar módulos, pode-se dizer que -4 menos -2.

Ao mesmo tempo, os recém-chegados geralmente admitem o seguinte erro : Confuso pelo módulo e diretamente o número. Afinal, o módulo -3 e o módulo -1 não indica que -3 é mais -1, mas pelo contrário. Isso pode ser entendido a partir da coordenada direta, onde a primeira é deixada à esquerda do segundo. Se você quiser comparar os valores, é importante prestar atenção aos sinais. Menos fala da negatividade da expressão e vice-versa.

Alguns exemplos

É um pouco mais complicado relacionar-se com números mistos, a extração do raiz, os valores fracionários. Será necessário para alterar as regras, pois nem sempre é possível retrá-las na coordenada direta. A este respeito, é necessário compará-los de outras maneiras do que na escola:

O que significa o número racional?
  1. Por exemplo, existem dois valores negativos, nomeadamente -3/5 e -7/3.
  2. Primeiro, há módulos na forma de 3/5 e 7/3, que são positivos.
  3. Então cada um é dirigido a um denominador comum que se projeta 15.
  4. Com base na regra para valores negativos, Rational -3/5 mais -7/3, como seu módulo é menor.

É mais fácil comparar os módulos de peças inteiras, porque você pode responder rapidamente à pergunta. Sabe-se que partes inteiras são mais importantes em comparação com as frações. Se você observar os números 15.4 e 2.1212, toda a parte do primeiro número é mais do que a segunda e, portanto, a fração.

A situação é um pouco mais complicada com um exemplo em que há valores de -3,4 e -3,7. Os módulos de números inteiros são os mesmos, portanto, terão que ser comparados para valores racionais. Então, acontece que -3.4 mais é -3.7, já que seu módulo é menor.

Ao comparar a fração simples e periódica, este último deve ser traduzido para o padrão. Então, 0, (3) se torna 3/9. Comparando, traduzir as frações para o denominador total 0, (3) e 4/8, aparece 24/72 e 36/72. Naturalmente, 24/72 <36/72. Ou seja, um módulo 4/8 módulo maior 0, (3), significa que é considerado grande.

Os números racionais são um tópico extenso. Seu estudo é considerado bastante difícil, exigente ter em conta muitas nuances e explicações dos principais pontos, ações com números aritméticos e assim por diante. Apesar da aparente simplicidade, o programa para determinar quais números são racionais e comparações são compilados, levando em conta a presença de partes fracionárias, sinais após uma vírgula e antes da expressão.

Depende da busca pela resposta correta e da solução da tarefa geral, incluindo a busca por juros e volumes.

Os indicadores racionais podem se relacionar com os assistentes na transição para seções complexas neste curso de matemática e dar uma ideia de expressões numéricas naturais e decimais em geral e em particular em casos incomuns.

Todos ouviram sobre números racionais, mas nem todos entendem que eles representam. Na verdade, tudo é simples.

Fonte: Yandex.
Fonte: Yandex.

Número racional - Este é o resultado de dividir dois inteiros. Por exemplo, o número 2 é o resultado de dividir 4 e 2, e o número 0.2 é 2 dividido por 10. Qualquer número racional que possamos apresentar para si mesmo na forma de uma fração M / n. Onde mé um inteiro n- Número natural.

Como são os números racionais? Pode ser:

  • Frações (1/2, 5/10)
  • Inteiros (1, 2, 5)
  • Números mistos
  • Frações decimais (0,14, 4,1)
  • Frações periódicas infinitas (por exemplo, ao dividir 10 a 3, recebemos 3.33333 ...)

Q - Designação de um conjunto de números racionais.

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Propriedades dos números racionais

  • Cada número natural é racional.
  • Cada número inteiro é racional.
  • Números racionais seguem a regra Deslumbrante e se movendo Propriedades. Isto é, de mudanças nos locais de termos do valor da soma para não mudar.

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

A + 0 = A

A + (- A) = 0

Exemplos:

2 + 3 = 5 e 3 + 2 = 5, significa 2 + 3 = 3 + 2.

14+ (1 + 4) = 19 e (14 + 1) + 4 = 19, o que significa 14+ (1 + 4) = (14 + 1) +4

  • Também essas leis são armazenadas ao se multiplicar.

A × B = B × A

A × (B × c) = (A × B) × C

A × 1 = a

A × 1 / a = 1

A × 0 = 0

× b = 0

Exemplos:

3x4 = 12 e 4x3 = 12, significa 3x4 = 4x3

5x (2x3) = 30 e (5x2) x3 = 30, significa 5x (2x3) = (5x2) x3

  • Para números racionais, a lei de distribuição da multiplicação será equitativa.

(A + B) × C = AC + BC

(A - B) × C = AC - BC

Exemplos:

(4 + 7) x5 = 55 e 4x5 + 7x5 = 55, o que significa (4 + 7) x5 = 4x5 + 7x5

Números irracionais e raízes

Para entender melhor o tipo de números racionais, você deve saber quais números não são. Ou melhor, que números serão irracionais. Tais números não podem ser escritos sob a forma de uma fração simples:

  • O número de PI, que é aproximadamente 3.14. Pode ser representado como uma fração, mas esse valor será apenas aproximado.
  • Algumas raízes. Por exemplo, a raiz de 2 ou de 99 não pode ser escrita como uma fração
  • Seção de ouro, que é aproximadamente igual a 1,61. Aqui a situação é a mesma que com o número de PI.
  • O número de Euler, que é de aproximadamente 2.718, também não é racional.
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Os números mais irracionais são encontrados entre as raízes, mas nem todas as raízes irracionais. Por exemplo, a raiz do número 4 é o número 2, e pode ser representado como uma fração. Ou seja, a raiz entre 4 é um número racional.

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O que são números racionais?

14 de janeiro de 2021.

Olá, queridos leitores de blog ktonanovenkogo.ru. Hoje vamos falar sobre termos matemáticos.

E desta vez vamos contar todos sobre números racionais. Eles estão necessariamente entrando no programa da escola, e as crianças começam a estudá-las no ano 6.

A palavra "racional" é familiar para muitos. E sob isso implica algo "lógico" e "direito". Na verdade, é.

Números racionais são ...

O termo tem uma raízes latina, e traduzido "ratio" significa "número", "cálculo", "razão", "raciocínio" e "numeração". Mas há outras traduções - "fração" e "divisão".

Número racional - qualquer número que possa ser mostrado sob a forma de frações a / b . Aqui a é um inteiro, e B é natural.

Vale a pena lembrar que:

  1. Números inteiros - Estes são todos os números possíveis como negativos e positivos. E também se aplica zero. A condição principal - eles não devem ser fracionados. Isto é, -15, 0 e +256 pode ser chamado de inteiros e 2,5 ou -3,78 - não.
  2. Inteiros - Estes são os números que são usados ​​com a pontuação, isto é, eles têm "origem natural". Esta é uma série de 1, 2, 3, 4, 5, e assim por diante do infinito. Mas números zero e negativos, bem como fracionamento - não pertencem a naturais.

E se você aplicar essas definições, podemos dizer que:

O número racional é geralmente todos os números possíveis, exceto fracções decimais não periódicas infinitas. Entre eles são naturais e inteiros, frações decimais comuns e finitas, além de frações periódicas infinitas.

Esquema

História do estudo de números racionais

Não se sabe quando as pessoas começaram a estudar as frações. Há uma opinião que muitos mil anos atrás. E todos começaram com uma divisão banal. Por exemplo, alguém teve que ser dividido, mas não funcionou em partes iguais. Mas acabou por outro, e quanto no apêndice.

Muito provavelmente, a fração foi estudada no antigo Egito, e na Grécia antiga. Então a matemática avançada em ciência. E é difícil supor que este tópico não os tenha estudado. Embora, infelizmente, nenhum dos trabalhos não encontrou instruções específicas sobre números racionais.

Matemático

Mas acredita-se oficialmente que o conceito de fração decimal apareceu na Europa em 1585. Este termo matemático em seus escritos perpetuados por um engenheiro holandês e matemático Simon Stevein.

Antes da ciência, ele era um comerciante comum. E provavelmente, estava em casos de negociação que muitas vezes enfrentou números fracionários. O que então descreveu em seu livro "décimo".

Nele, Stevech não só explicou a utilidade das fracções decimais, mas também em todos os sentidos promoveu seu uso. Por exemplo, em um sistema de medidas para determinar com precisão o valor de algo.

Variedades de números racionais

Nós já escrevemos que os conceitos de números racionais caem quase todas as opções possíveis. Agora considere as opções existentes em mais detalhes:

  1. Inteiros . Qualquer número de 1 e para o infinito pode ser representado como uma fração. É o suficiente para lembrar a regra matemática simples. Se você dividir o número por unidade, o mesmo número será. Por exemplo, 5 = 5/1, 27 = 27/1, 136 = 136/1 e assim por diante.
  2. Números inteiros . Exatamente a mesma lógica, como no caso de números naturais, atua aqui. Números negativos também podem ser representados como uma fração com divisão por unidade. E também estará em relação a zero. Por exemplo, -356 = -356/1, -3 = -3/1, 0 = 0/1 e assim por diante.
  3. Frações comuns . Isso se refere diretamente à definição de números racionais. Por exemplo, 6/11, 2/5, -3/10 e assim por diante.
  4. Frações periódicas infinitas . Estes são os números que, após a vírgula, os infinitos muitos sinais e suas seqüências se repetem. Os exemplos mais simples 1/3, 5/6 e assim por diante.
  5. Frações decimais finitas . Estes são os números que podem ser gravados em duas opções diferentes e, na qual há um número muito específico de ponto e vírgula. O exemplo mais fácil é metade. Pode ser denotado por um tiro 0,5 ou fração ½.

Todos os números incluídos no conceito de racional são chamados de uma infinidade de números racionais. Em matemática é aceito para marcar latim letra Q. .

E graficamente pode ser retratado assim:

Números

Propriedades dos números racionais

Números racionais obedecem Todas as principais leis da matemática :

  1. A + B = B + A
  2. A + (B + C) = (A + C) + com
  3. A + 0 = A
  4. A + (-A) = 0
  5. A * b = v * a
  6. A * 1 = a
  7. A * 0 = 0
  8. (A + c) * c = a * c + v * c
  9. (A - c) * c = a * c - v * com

Por uma questão de interesse, você pode tentar substituir qualquer número de letras e ter certeza de que essas leis são verdadeiras.

Em vez de aprisionamento

Uma vez que há números racionais em matemática, isso significa que eles devem ser opostos. Então há - eles são chamados irracional . Estes são números que não podem ser escritos sob a forma de fração comum.

Esses números pertencem à constante matemática "Pi". Muitos sabem que é igual a 3.14 e um número infinito de sinais decimais, e sua sequência nunca é repetida.

Números irracionais

Além disso, os números irracionais relacionam muitas raízes. Isso se aplica àqueles que não obtêm um inteiro. O exemplo mais fácil é a raiz de 2. Mas este é o tópico para outro artigo.

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O número racional é um número que pode ser representado como uma fração. Aqueles. Se o número puder ser obtido dividindo dois inteiros (número sem parte fracionária), então isso é racional.

Este é um número que pode ser submetido por um tiro comum M / n., onde o numerador m é um inteiro, e o denominador n é um número natural.

Por exemplo:

  • 1,15 - um número racional de t. Pode ser representado como 115/100;
  • 0,5 - um número racional porque é 1/2;
  • 0 é um número racional porque é 0/1;
  • 3 - número racional porque é 3/1;
  • 1 - número racional porque é 1/1;
  • 0,33333 ... - número racional, porque é 1/3;
  • -5.4 - O número racional porque é -54/10 = -27/5.

Muitos Números racionais são indicados pela carta "Q" .

A palavra "racional" originada da "proporção" latim, que tem vários valores - o número, cálculo, numeração, raciocínio, mente, etc.

Propriedades dos números racionais

Suponha um, B e C - qualquer número racional.

Leis de movimento e combinação

A + B = B + A, por exemplo: 2 + 3 = 3 + 2;

A + (B + C) = (A + B) + C, por exemplo: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4;

A + 0 = A, por exemplo: 2 + 0 = 2;

A + (- A) = 0, por exemplo: 2 + (- 2) = 0

Leis de movimento e combinação quando se multiplicam

A × B = B × A, por exemplo: 2 × 3 = 3 × 2

A × (B × c) = (A × B) × C, por exemplo: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4

A × 1 = a, por exemplo: 2 × 1 = 2

A × 1 / a = 1, se A ≠ 0; Por exemplo: 2 × 1/2 = 1

A × 0 = 0, por exemplo: 2 × 0 = 0

× b = 0, significa: ou a = 0, ou b = 0, ou ambos são zero

Multiplicação de direito de distribuição

Para adição:

(e +b) × s = a с + bсPor exemplo: (2 + 3) × 4 = 2 × 4 + 3 × 4

Para subtração:

(e b) × с = A. с bсPor exemplo: (3 - 2) × 4 = 3 × 4 - 2 × 4

Números irracionais

Números irracionais - O oposto dos números racionais, estes são aqueles que não podem ser escritos como uma fração simples.

Por exemplo:

  • o número pi = 3,14159 ... pode ser escrito como 22/7, mas será apenas cerca de и longe de certo 22/7 = 3,142857 ..);
  • √2 e √99 - irracional, uma vez que são impossíveis de registrar uma fração (as raízes são frequentemente irracionais, mas nem sempre);
  • E (número) = 2.72 - irracional, uma vez que é impossível registrar uma fração;
  • A seção transversal de ouro φ = 1,618 ... - Irracional, uma vez que é impossível gravar uma fração.

Muitos Números irracionais são indicados pela carta "EU" .

Qual é a diferença entre números inteiros, naturais e racionais

Os inteiros são números naturais opostos a eles números (abaixo de zero) e zero.

Por exemplo:

Todo inteiros são racionais Números (naturais incluindo), porque eles podem ser representados como uma fração comum.

Muitos inteiros em matemática é indicado pela carta Z.

Inteiros

Números naturais são apenas inteiros a partir de 1.

Por exemplo:

Esta conta apareceu de maneira natural quando as pessoas ainda pensavam nos dedos e não sabiam os números ("Eu tenho tantas cabras, quantas dedos nas duas mãos"), então zero não está incluída nos números naturais.

Muitos Números naturais em matemática são indicados pela carta N.

Todas as frações decimais são números racionais?

Frações decimais se parecem:

Estas são as frações usuais que o denominador é igual a 10, 100, 1000, etc. Nossos exemplos que podemos escrever nesta forma:

3,4 =. 3,4.;

2,19 =. 2,19. ;

0,561 =. 0,561..

Isso significa que qualquer Finito A fração decimal é um número racional.

Qualquer um Fração periódica Você também pode enviar na forma de uma fração comum:

(3 repetições)
(3 repetições)

Consequentemente, qualquer fração periódica é um número racional.

Mas as fracções decimais infinitas e não periódicas não são consideradas números racionais, uma vez que não podem ser mostradas na forma de uma fração comum.

Pode lembrar como o berço é que o número P. (3.14159 ...) irracional . Ele tem muitas marcas de não refinação após a vírgula e é impossível imaginar na forma de uma fração comum.

Raízes - números racionais ou irracional?

A parte esmagadora das raízes quadradas e cúbicas é números irracionais. Mas há exceções: se puder ser representado como uma fração (por definição de um número racional). Por exemplo:

  • √2 = 1.414214 ... - irracional;
  • √3 = 1.732050 ... - irracional;
  • ∛7 = 1.912931 ... - irracional;
  • √4 = 2 - racional (2 = 2/1);
  • √9 = 3 - racional (3 = 3/1).

A história dos números racionais e frações

A primeira menção conhecida de números irracionais foi entre 800 e 500 aC. e. Em Sulbe Sutra indiano.

A primeira prova da existência de números irracionais pertence ao antigo filósofo grego pitágora hipopas do Metapont. Ele provou (provavelmente geometricamente) a irracionalidade da raiz quadrada de 2.

A legenda afirma que os hipopas de Metapont abriam números irracionais quando tentava apresentar uma raiz quadrada de 2 na forma de uma fração. No entanto, Pythagoras acreditava no número absoluto e não pôde aceitar a existência de números irracionais.

Acredita-se que, por causa disso, houve um conflito entre eles, que gerou muitas lendas. Muitos dizem que esta descoberta foi morta por Hippas.

Nos registros babilônicos em matemática, muitas vezes é possível ver um sistema numérico de seis meses em que as fracções já foram usadas. Esses registros foram feitos mais de 4.000 anos atrás, o sistema foi um pouco diferente, como nós, mas o ponto é o mesmo.

Os egípcios que viviam em um período posterior também tinham seu próprio jeito de escrever frações, algo semelhante a: 3⁻⁻ ou 5⁻⁻.

Saiba mais sobre números naturais, o número PI, os números de Fibonacci e o Expositor.

Determinação de números racionais

Número racional - Este é um número que pode ser representado como uma fração ordinária positiva ou negativa ou número de zero. Se o número puder ser obtido dividindo dois inteiros, este é um número racional.

Números racionais são aqueles que podem ser representados como

Tipo de números racionais

onde o numerador m é um inteiro, e o denominador n é um número natural.

Números racionais - Estes são todos naturais, inteiros, fracções comuns, frações periódicas infinitas e frações decimais finais.

Muitos números racionais É costume marcar a carta latina Q.

Exemplos de números racionais:

  • Fração decimal 1.15 é 115/100;
  • fração decimal 0,2 é 1/2;
  • Um inteiro 0 é 0/1;
  • Um inteiro 6 é 6/1;
  • Um inteiro 1 é 1/1;
  • Fração periódica infinita 0,33333 ... é 1/3;
  • Número misto Número misto- é 25/10;
  • Fração decimal negativa -3,16 é -316/100.

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Propriedades dos números racionais

Os números racionais têm certas leis e várias propriedades - consideram cada uma delas. Deixe A, B e C serem quaisquer números racionais.

As principais propriedades da ação com números racionais
  • Movendo propriedade de adição: A + B = B + a.
  • A propriedade combinada da adição: (A + B) + C = A + (B + C).
  • A adição de um número racional e elemento neutro (zero) não altera esse número: A + 0 = a.
  • Cada número racional tem um número oposto, e sua soma é sempre zero: a + (-a) = 0.
  • Movimento de multiplicação: AB = BA.
  • A propriedade combinada da multiplicação: (a * b) * c = a * (b * c).
  • O produto de um número racional e não altera esse número: a * 1 = a.
  • Cada número racional diferente tem um número reverso. Seu produto é igual a um: a * a - 1 = 1.
  • A propriedade de distribuição da multiplicação relativa a adição: A * (B + C) = A * B + A * C.

Além dos principais listados, ainda há uma série de propriedades:

 
  1. A regra da multiplicação de números racionais com diferentes sinais: (-a) * b = -ab. Essa frase ajudará a lembrar: "Além disso, há um menos para um menos, e há um menos menos".
  2. A regra de multiplicação de números racionais negativos: (-a) * (-b) = ab. Lembre-se da frase ajudará: "Menos para menos há uma vantagem".
  3. A regra de multiplicar um número racional arbitrário para zero: a * 0 = 0 ou 0 * a = 0. Nós provamos esta propriedade. Sabemos que 0 = D + (-D) para qualquer Rational D, o que significa um * 0 = A * (D + (-D)). A lei de distribuição permite que você reescreva a expressão: a * d + a * (-d) e, desde um * (-d) = -ad, e, em seguida, A * D + A * (-D) = A * D + ( -Ad). Isso acabou sendo a soma de dois números opostos, que como resultado dá zero, o que prova a igualdade A * 0 = 0.

Nós listamos apenas as propriedades de adição e multiplicação. No conjunto de números racionais, a subtração e a divisão podem ser registradas como referência a adição e multiplicação. Isto é, a diferença (A - B) pode ser escrita como a soma de A + (-B), e o privado A / B é igual ao produto A * B-1, com B ≠ 0.

Definição do número irracional

Número irracional - Este é um número válido que não pode ser expresso sob a forma de dividir dois inteiros, isto é, em uma fração racional

fração racional

Pode ser expresso na forma de uma infinita fração decimal não periódica.

Fração decimal periódica infinita - Esta é uma fração, cujos sinais decimais são repetidos na forma de um grupo de números ou um e o mesmo número.

Exemplos:

  • π = 3,1415926 ...
  • √2 = 1.41421356 ...
  • E = 2,71828182 ...
  • √8 = 2.828427 ...
  • -√11 = -3.31662 ...

Designação do conjunto de números irracionais: letra latina I.

Números válidos ou reais - Estes são todos números racionais e irracionais: positivo, negativo e zero.

Propriedades de números irracionais:

  • O resultado da soma do número irracional e racional é igual ao número irracional;
  • O resultado da multiplicação do número irracional em qualquer número racional (≠ 0) é igual ao número irracional;
  • O resultado da subtração de dois números irracionais é igual a um número irracional ou racional;
  • O resultado da soma ou do produto de dois números irracionais é racional ou irracional, por exemplo: √2 * √8 = √16 = 4).

A diferença entre números inteiros, naturais e racionais

Inteiros - Estes são os números que usamos para calcular algo específico, tangível: uma banana, dois notebooks, dez cadeiras.

Mas o que é exatamente não é um número natural:

  • Zero é um inteiro que ao adicionar ou subtrair com qualquer número como resultado dará o mesmo número. A multiplicação em zero dá zero.
  • Números negativos: -1, -2, -3, -4.
  • Drobi: 1/2, 3/4, 5/6.

Números inteiros - Estes são números naturais opostos a eles e zero.

Se dois números diferem um do outro - eles são chamados em frente: +2 e -2, +7 e -7. O sinal de mais geralmente não é escrito, e se não houver sinal antes do número, isso significa que é positivo. Os números enfrentados pelo sinal "menos" são chamados negativos.

Quais números são chamados racionais que já sabemos desde a primeira parte do artigo. Repita novamente.

Números racionais - Estas são frações finitas e frações periódicas infinitas.

Por exemplo: Um exemplo de números racionais

Qualquer número racional pode ser representado sob a forma de uma fração, na qual o numerador pertence aos inteiros, e o denominador é natural. Portanto, em muitos números racionais incluem muitos inteiros e números naturais.

Muitos números racionais

Mas nem todos os números podem ser chamados racionais. Por exemplo, as infinitas frações não periódicas não pertencem a um conjunto de números racionais. Então √3 ou π (número PI) não pode ser chamado de números racionais.

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Números racionais Você já está familiarizado com eles, permanece apenas para resumir e formular as regras. Então, quais números são chamados de números racionais? Considere em detalhes nesta lição de tópico.

O conceito de números racionais.

Definição: Números racionais - Estes são os números que podem ser representados como fraction \ (\ frac {m} {n} {n} \), onde m é um inteiro e n é um número natural.

Em outras palavras, você pode dizer:

Números racionais - Estes são todos números naturais, inteiros, fracções comuns, frações periódicas infinitas e frações decimais finitas.

Analisaremos todos os itens em detalhes.

  1. Qualquer número natural pode ser representado como uma fração, por exemplo, o número 5 = \ (\ frac {5} {1} \).
  2. Qualquer inteiro pode ser representado como uma fração, por exemplo, números 4, 0 e -2. Obtemos 4 = \ (\ FRAC {4} {1} \), 0 = \ (\ frac {0} {1} \) e -2 = \ frac {-2} {1} \).
  3. As frações comuns já estão registradas no formulário racional, por exemplo, \ (\ FRAC {6} {11} \) e \ (\ frac {9} {2} \).
  4. Frações periódicas infinitas, por exemplo, 0,8 (3) = \ (\ frac {5} {6} \).
  5. Frações decimais finitas, por exemplo, 0.5 = \ (\ FRAC {5} {10} = \ frac {1} {2} \).

Muitos números racionais.

Lembre-se que o conjunto de números naturais é denotado pela letra latina de N. Especificação de inteiros é indicado pela letra latina z.a. O conjunto de números racionais é indicado pela letra latina Q.

Em muitos números racionais, muitos inteiros e números naturais incluem o significado dos números racionais.

Na figura você pode mostrar uma variedade de números racionais.

Muitos números racionais

Mas nem todos os números são racionais. Ainda há muitos números diferentes, que no futuro você estudará. As fracções reflexivas irracionais não pertencem ao conjunto de números racionais. Por exemplo, o número E, \ (\ sqrt {3} \) ou o número \ ( \ pi \) (O número PI é lido) são números racionais.

Perguntas sobre o tópico "Números racionais": Qual expressão é um número racional de números \ (\ sqrt {5}, -0. (3), 15, \ FRAC {34} {1569}, \ sqrt {6} \)? Resposta: A raiz de 5 Esta expressão não pode ser enviada na forma de uma fração ou uma fração periódica infinita, portanto esse número não é racional. A fração periódica decimal de referência -0, (3) = \ (- \ frac {3 } {10} \) na forma de uma fração, portanto, é um número racional. O número 15 pode ser representado como uma fração \ (\ frac {15} {1} \), portanto, é um número racional. Estes \ (\ FRAC {34} {1569} {1569} \) é um número racional. Anti-6 Esta expressão não pode ser submetida sob a forma de uma fração ou fração periódica infinita, para que este número não seja racional.

Escreva um número 1 como um número racional? Resposta: Para anotar como um número racional 1, é necessário apresentá-lo sob a forma de fração 1 = \ (\ frac {1} {1} \).

Prove que o número \ (\ sqrt {0,0049} \) é racional? Evidência: \ (\ Sqrt {0,0049} = 0,07 \)

É um número simples sob a raiz de um número racional? Resposta: Não. Por exemplo, qualquer número simples sob a raiz 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... não retirado da raiz e não pode ser representado sob a forma, é claro que a fração ou fração periódica infinita, portanto, não é um número racional.

O tópico dos números racionais é bastante extenso. Você pode falar sobre isso infinitamente e escrever obras inteiras, toda vez surpresa por novas fichas.

A fim de evitar erros no futuro, nesta lição seremos um pouco mais profundamente no tema dos números racionais, desenho as informações necessárias e seguir em frente.

O que é um número racional

Número racional é um número que pode ser representado como uma fração Um dividido por bOnde uma - Este é um numerador de fração, b- Denominador do fraci. além disso bNão deve ser zero porque a divisão não é permitida.

As seguintes categorias de números incluem números racionais:

  • inteiros (por exemplo -2, -1, 0 1, 2, etc.)
  • Frações comuns (por exemplo metadeum terçotrês quartosetc.)
  • Números mistos (por exemplo dois inteiros um segundoum terceiro terceiromenos dois inteiros um terçoetc.)
  • fracções decimais (por exemplo 0,2, etc.)
  • Frações periódicas infinitas (por exemplo 0, (3), etc.)

Cada número dessa categoria pode ser representado como uma fração Um dividido por b .

Exemplos:

Exemplo 1. Um inteiro 2 pode ser representado como uma fração Os dois primeiros. Então o número 2 se refere não apenas aos números inteiros, mas também para racional.

Exemplo 2. Número misto dois inteiros um segundopode ser representado como uma fração Cinco segundos. Esta fração é obtida pela transferência de um número misto para a fração errada

Tradução de dois inteiro um segundo para a fração errada

Número tão misto dois inteiros um segundorefere-se a números racionais.

Exemplo 3. Fração decimal 0,2 pode ser representada como uma fração Dois décimos. Esta fração acabou pela transferência de fração decimal 0,2 a uma fração comum. Se você está tendo dificuldade neste momento, repita o tema das frações decimais.

Como a fração decimal 0.2 pode ser representada como uma fração Dois décimosIsso significa que também se refere a números racionais.

Exemplo 4. Infinita fração periódica 0, (3) pode ser representada como uma fração Três nonts.. Esta fração é obtida por transferir uma fração periódica limpa em uma fração comum. Se você está tendo dificuldades neste momento, repita o assunto de frações periódicas.

Desde a fração periódica infinita 0, (3) pode ser representada como uma fração Três nonts.Isso significa que também se refere a números racionais.

No futuro, todos os números que podem ser representados na forma de uma fração, seremos cada vez mais chamados em uma frase - números racionais .

Números racionais na coordenada direta

A coordenada direta que consideramos quando os números negativos foram estudados. Lembre-se de que esta é uma linha reta em que há muitos números. Do seguinte modo:

Coordenar a Figura 1 Direta 1

Esta figura mostra um pequeno fragmento da coordenada direta de -5 a 5.

Marcar sobre os inteiros diretos de coordenadas da espécie 2, 0, -3 não é difícil.

São coisas muito mais interessantes com o resto dos números: com frações comuns, números mistos, frações decimais, etc. Esses números estão entre os inteiros e esses números são infinitamente muito.

Por exemplo, observamos no número racional direto da coordenada metade. Este número está localizado exatamente entre zero e unidade

Um segundo na coordenada direta

Vamos tentar entender por que a fração metadeDe repente se estabeleceu entre zero e unidade.

Como mencionado acima, há outros números entre inteiros - fracções comuns, frações decimais, números mistos, etc. Por exemplo, se você aumentar a seção na linha de coordenadas de 0 a 1, poderá ver a imagem a seguir

Coordenar diretamente de zero a um

Pode ser visto que já existem outros números racionais entre os inteiros 0 e 1, que são familiares para frações decimais para nós. Nossa fração é visível aqui metadeque está localizado lá, onde e a fração decimal é de 0,5. A consideração atenta desta imagem dá a resposta para a questão de por que a fração metadeEstá localizado lá.

Fração metadesignifica dividido 1 a 2. e se dividido 1 a 2, então recebemos 0,5

Unidade dividida em dois quintos

A fração decimal 0,5 pode ser mascarada e sob as outras frações. Da propriedade principal da fração, sabemos que, se o numerador e denomestre do FRACI multiplicar ou dividirem no mesmo número, o valor da fracção não será alterado.

Se o numerador e denominador metadeMultiplique por qualquer número, por exemplo, pelo número 4, então vamos obter uma nova fração Quatro oitavos.e esta fração, bem como metadeigual a 0,5.

Quatro divididos por oito é igual a zero até cinco décimos

E, portanto, na coordenada Quatro oitavos.pode ser localizado no mesmo lugar onde a fração estava localizada metade

Quatro oitavo na coordenada direta

Exemplo 2. Vamos tentar notar sobre o número racional de coordenadas Três segundos. Este número está localizado exatamente entre os números 1 e 2

três segundos na coordenada direta

O valor do fraci Três segundosIgual 1,5.

Três divididos em dois serão um total de cinco décimos

Se você aumentar a área da coordenada direta de 1 a 2, veremos a seguinte imagem:

coordenar diretamente de um a dois

Pode ser visto que já existem outros números racionais entre inteiros 1 e 2, que são familiares para as frações decimais para nós. Nossa fração é visível aqui Três segundosque está localizado lá, onde e a fração decimal 1.5.

Aumentamos certos segmentos na coordenada diretamente para ver os outros números deitada neste segmento. Como resultado, encontramos frações decimais que tinham um dígito após uma vírgula.

Mas estes não eram os únicos números deitados nesses segmentos. Os números deitado na coordenada direta são infinitamente muito.

Não é difícil adivinhar que já existem outras frações decimais entre fracções decimais com uma fração decimal, tendo dois dígitos após uma vírgula. Em outras palavras, centésimos partes do segmento.

Por exemplo, vamos tentar ver os números que estão entre as frações decimais 0,1 e 0,2

Coordenar diretamente de zero a um décimo a dois décimos

Outro exemplo. Frações decimais com dois dígitos após uma vírgula e deitada entre zero e um número racional de 0,1 parecer com isso:

coordenar diretamente de zero a zero um décimo

Exemplo 3. Nota sobre o número racional direto da coordenada Um fifticamente. Este número racional será muito próximo de zero

um quinquimista na coordenada direta

O valor do fraci Um fifticamenteIgual a 0,02.

Unidade separada por cinquenta é igual a zero até dois centésimos

Se aumentarmos o segmento de 0 a 0,1, veremos onde o número racional é preciso. Um fifticamente

Um quinquimista em uma coordenada direta de 0 a 0,1

Pode ser visto que nosso número racional Um fifticamenteEstá localizado aí, onde e a fração decimal é de 0,02.

Exemplo 4. Nota sobre a coordenada Rational Número 0, (3)

O número racional 0, (3) é uma fração periódica infinita. Sua parte fracionária nunca acaba, ela é infinita

0,33333 .... e assim por diante para o infinito ..

E como nos números 0, (3) a parte fracionária é infinita, isso significa que não poderemos encontrar o local exato na coordenada direta, onde este número está localizado. Nós só podemos especificar este lugar aproximadamente.

O número racional é de 0,33333 ... será muito próximo da fração decimal usual 0,3

zero inteiro e três no período sobre a coordenada direta

Este desenho não mostra a localização exata do número 0, (3). Esta é apenas uma ilustração mostrando como a fração periódica 0, (3) pode ser colocada de perto com uma fração decimal convencional 0.3.

Exemplo 5. Nota sobre o número racional direto da coordenada dois inteiros um segundo. Este número racional será localizado no meio entre os números 2 e 3

Dois inteiros e um segundo na coordenada direta

dois inteiros um segundoé 2 (dois inteiros) e metade(metade). Fração metadediferentemente também chamado de "metade". Portanto, observamos sobre a coordenada diretamente dois segmentos inteiros e outra metade do segmento.

Se você traduzir um número misto dois inteiros um segundoNa fração errada, então recebemos uma fração comum Cinco segundos. Esta fração na coordenada direta será localizada lá, onde e a fração dois inteiros um segundo

Cinco segundos na coordenada direta

O valor do fraci Cinco segundosIgualmente 2.5.

Cinco divididos em dois serão um total de cinco décimos

Se você aumentar a área da linha reta de coordenadas de 2 a 3, veremos a seguinte imagem:

Cinco segundos na coordenada direta de dois a três

Pode ser visto que nosso número racional Cinco segundosLocalizado lá, onde e a fração decimal 2.5

Menos antes de um número racional

Na lição anterior, chamada multiplicação e divisão de inteiros, aprendemos a compartilhar inteiros. O papel de uma divisão e divisor pode suportar números positivos e negativos.

Considere a expressão mais simples

(-6): 2 = -3

Nesta expressão, divisível (-6) é um número negativo.

Agora considere a segunda expressão

6: (-2) = -3

Aqui, um número negativo é um divisor (-2). Mas em ambos os casos, recebemos a mesma resposta -3.

Considerando que qualquer divisão pode ser escrita sob a forma de uma fração, também podemos rever os exemplos também escritos sob a forma de uma fração:

menos seis dividido em dois é igual a menos três

seis divididos em menos dois é igual a menos três

E, como nos dois casos, o valor da fração é o mesmo, menos de pé em um numerador no denominador pode ser feito com um general, colocando-o antes da fração

menos seis dividido em dois ou menos seis segundos iguais a menos três

seis divididos em menos dois ou menos seis segundos iguais a menos três

Portanto, entre expressões menos seis dividido em dois    и seis divididos em menos dois    и  Menos seis segundosVocê pode colocar um sinal de igualdade porque eles carregam o mesmo significado

menos seis dividido em dois é igual a seis divididos em menos dois é igual a menos seis segundos

No futuro, trabalhando com frações se o menos nos encontrar em numerador ou no denominador, faremos isso menos comum, colocando-o antes da fraude.

Números racionais opostos

Bem como um inteiro, o número racional tem seu número oposto.

Por exemplo, para um número racional metadeO número oposto é Menos um segundo. Está localizado na localização simétrica direta de coordenadas. metadeem relação ao início das coordenadas. Em outras palavras, ambos os números são equidistantes desde o início das coordenadas.

menos um segundo e um segundo na coordenada direta

Tradução de números mistos em frações incorretas

Sabemos que, a fim de traduzir um número misto na fração errada, você precisa multiplicar o denominador da parte fracionária e adicionar à parte fracionária. O número resultante será o numerador da nova fração, e o denominador permanece o mesmo ..

Por exemplo, traduzimos o número misto dois inteiros um segundoNo tiro errado

Multiplique toda uma peça ao denominador da parte fracionária e adicione um número de peça fracionária:

(2 × 2) + 1

Calcule esta expressão:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

O número resultante 5 será o numerador de uma nova fração, e o denominador permanecerá o mesmo:

Cinco segundos

O procedimento totalmente dado é escrito da seguinte forma:

Tradução de dois inteiro um segundo para a fração errada

Para devolver o número original misturado, basta destacar toda a parte na fração Cinco segundos

Alocação de toda a parte na fração cinco segundos

Mas este método de tradução do número misto para a fração errada é aplicável somente se o número misto for positivo. Para um número negativo, esse método não funcionará.

Considere uma fração Menos cinco segundos. Destacamos nesta fração por parte. Receber menos dois inteiros um segundo

alocação de toda a parte no menos triturado cinco segundos

Para devolver a fração inicial Menos cinco segundosprecisa traduzir um número misto menos dois inteiros um segundoNa fração errada. Mas se usarmos a regra antiga, ou seja, multiplicaremos o inteiro no denominador da parte fracionária e para adicionar o número da parte fracionária ao número resultante, obteremos a seguinte contradição:

tradução menos dois inteiro um segundo para a fração errada

Nós recebemos uma fração Menos três segundose tinha que conseguir uma fração Menos cinco segundos .

Concluímos que o número misto menos dois inteiros um segundoNa fração errada traduzida incorretamente:

menos dois inteiros um segundo

Para traduzir adequadamente um número misto negativo na fração errada, você precisa multiplicar pelo denominador da parte fracionária e do número resultante subtrair Parte fracionária. Neste caso, todos nós vamos no lugar

A tradução correta do menos de dois inteiros um segundo para a fração errada

Número Misto Negativo menos dois inteiros um segundoé o oposto para um número misto dois inteiros um segundo. Se um número misto positivo dois inteiros um segundolocalizado no lado direito e parece

Dois inteiros e um segundo na coordenada direta

Então Número Misto Negativo menos dois inteiros um segundoserá localizado no lado esquerdo do simetricamente dois inteiros um segundoO início relativo das coordenadas

Menos dois inteiros um segundo e dois inteiros e um segundo na coordenada direta

E se dois inteiros um segundoleia como "dois e um segundo", depois menos dois inteiros um segundoLendo como "Menos dois inteiros e menos um segundo" . Desde números -2 e Menos um segundoBloqueado no lado esquerdo da coordenada direta - ambos são negativos.

Qualquer número misto pode ser escrito na implantação. Número misto positivo dois inteiros um segundoNa implantação, escrita como Dois mais um segundo.

Um número misto negativo menos dois inteiros um segundogravado como menos dois inteiros menos um segundo

Agora podemos entender por que um número misto menos dois inteiros um segundoEstá localizado no lado esquerdo da coordenada direta. Menos antes de dois indica que mudamos de zero para dois passos restantes, como resultado, acabou por estar no ponto em que o número -2 é

menos dois na coordenada direta

Então, a partir do número -2, eles se mudaram para a esquerda Menos um segundoEtapa. E desde o valor Menos um segundoIgualmente -0,5, então nosso passo será metade do passo completo.

menos dois e menos um segundo na coordenada direta

Como resultado, nos encontraremos no meio entre os números -3 e -2

menos dois inteiros e menos um segundo na coordenada direta

Exemplo 2. Alocar em fração incorreta menos vinte e sete quintosParte inteira, então o número misto resultante de volta para a transferência para a fração errada

Nós iremos executar a primeira parte da tarefa, ou seja, alocamos na fração errada menos vinte e sete quintosParte inteira

Alocação de toda a parte no menos triturado vinte e sete quinto

Executaremos a segunda parte da tarefa, ou seja, traduzir o número misto resultante menos cinco dois quintosNa fração errada. Para isso, multiplique toda a parte ao denominador da parte fracionária e do número resultante, o número de peça fracionária será subtraído:

Transferir menos cinco inteiros dois quintos na fração errada

Se não houver desejo de ser confuso e se acostumar com a nova regra, então você pode fazer um número misto entre parênteses, e menos deixá-lo atrás do colchete. Em seguida, será possível aplicar uma boa regra antiga: multiplicar uma parte inteira para o denominador da parte fracionária e adicionar um número de peça fracionária ao número resultante.

Execute a tarefa anterior dessa maneira, ou seja, eu traduzir o número misto menos cinco dois quintosNo tiro errado

Tradução menos cinco inteiros dois quintos na solução de fração errada com colchetes

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